三角函數: 掌握角度與長度的現代必備數學

一、先關注三角形吧
從三角形的性質中產生的便利函數 10
三角形是各種圖形的基礎 12
用一根棒子就能測量金字塔的高度！ 14
只要善用「角度」，就能測量地球的周長 16
用在古代測量中的「3：4：5直角三角形」 18
Coffee Break 古巴比倫的黏土板可能是世界上最古老的「三角函數表」 20
最重要的「畢氏定理」 22
透過計算可以得知東京晴空塔上的視野範圍！ 24
三角函數能夠創造出精確的地圖 26
Coffee Break 三角函數中的「函數」到底是什麼？ 28

二、這樣就能理解三角函數
古希臘的天文學孕育了三角函數 32
正弦、餘弦、正切，到底是什麼？ 34
只要測量角度，便可得知邊長！ 36
第一個三角函數「正弦」 38
正弦的值在這種時候派上用場！ 40
正弦在太陽能板的設置中發揮巨大作用 42
Coffee Break 利用正弦，確立了世界共通的度量單位「公尺」 44
第二個三角函數「餘弦」 46
伊能忠敬也使用了餘弦 48
第三個三角函數「正切」 50
打造無障礙社會，十分需要正切 52
這裡距離東京晴空塔多少公尺？ 54
Coffee Break 畢達哥拉斯開啟的數學世界 56

三、如此方便！三角函數的重要公式
正弦和餘弦，是「一體兩面的關係」 60
連結正弦和餘弦的畢氏定理 62
將正弦、餘弦、正切合而為一！ 64
以餘弦為主角的「餘弦定理」 66
利用餘弦定理來求得無法直接測量的距離 68
以正弦為主角的「正弦定理」 70
正弦定理在天文學中也大有用途！ 72
兩角和或差的三角函數值，可透過「和差角定理」得知 74
Coffee Break 發現和差角定理的古希臘天文學家 76
三角函數 練習題 78
三角函數 練習題 解答篇：①∼③ 80
條理彙整，一次到位！三角函數的重要公式集 86
Coffee Break 在無法看見陸地的大海上如何確定自己的位置？ 88

四、從三角函數到「圓」與「波」
用「圓」來理解三角函數更容易明白！ 92
將三角函數從直角三角形的限制中解放出來 94
只要用「圓」來思考，就能處理任何角度 96
Coffee Break 「坐標」連結數學式和圖形 98
使用單位圓定義三角函數 100
使用半徑為1的圓弧表示角度的「弧度法」 102
使用弧度法表示角度，竟然如此方便！ 104
將正弦值的變化繪成圖形，就會成為「波」！ 106
餘弦的圖形也是「波」 108
Coffee Break 話又說回來，「波」究竟是什麼？ 110
正切的變化也具有週期性 112
「彈簧的振動」中隱藏著正弦波 114
我們的生活中充滿了「波」！ 116
Coffee Break 在螺旋梯上出現的「三角函數」曲線 118

五、支撐著先進技術的三角函數
說話的聲音和樂器的聲音也能用波的形式表示 122
複雜的波也可以用簡單的波「相加」而成 124
任何形狀的波都可以用三角函數來表示 126
複雜的波可以透過傅立葉轉換進行分析 128
能夠壓縮圖像和影片，也是三角函數的功勞 130
Coffee Break 拿破崙時代將三角函數 發揚光大的數學家 132
掃地機器人的「智慧」也仰賴三角函數 134
最新的VR遊戲中也少不了三角函數的應用 136
微中子的運動，可以用三角函數來描述 138

[附錄]十二年國教課綱自然科學領域學習內容架構表 140