數學女孩: 伽羅瓦理論 | 誠品線上

数学ガール: ガロア理論

內容簡介

內容簡介 內容介紹：未滿二十一歲即因決鬥而死的伽羅瓦，燃燒他短暫的一生開創數學新領域，深深影響後世的數學家，其理論充實、深廣，甚至複雜，但《數學女孩：伽羅瓦理論》的作者結城浩卻用高中生的視角，在本書主角「我」與諸位數學女孩互相切磋、教導、戀愛的過程中，以親切有趣的舉例，詳細說明各個概念，再以宏觀角度帶領讀者掌握伽羅瓦理論的全貌，使各個系統、概念融會貫通。本書介紹伽羅瓦的「第一論文」及其相關理論。伽羅瓦用群論研究方程式，彰顯群論與體論的對應關係，欲求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件。他不以人們熟悉的方式，用「係數」去探求方程式的可解性，反而以「根的置換群」去思考五次以上方程式的可解性。其中牽涉到群與體的定義、線性空間與擴張次數、商群與群指數、體與子體、群與子群、群與體的對應、體的擴張與群的縮小、正規擴張與正規子群、陪集與商群、共軛……等數學概念，而這些豐富的內容盡在本書！2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩！ 日本高中生的最佳課外讀物青春x數學x愛情激發學習數學的幸福滋味！萬眾矚目的「數學女孩」第四彈，回來了！無論是數學或愛情，才女米爾迦與「我」都更加靠近！伽羅瓦理論用群論研究方程式，求出「方程式是否能以代數方式解開」的充分必要條件！解決前人的困擾：高次方程式的代數可解性，開闢抽象代數的研究領域！數學的奧妙和女孩的心一樣，「我」該如何跳出框架、看清全貌呢？伽羅瓦告訴芸芸眾生，如何踏入抽象代數的世界，解決高次方程式的求解問題；數學女孩告訴高中生，你也能了解伽羅瓦理論，深入數學的奧妙之境！伽羅瓦運用高斯的分圓多項式、拉格朗日對置換根的研究、拉格朗日預解式等，發展出伽羅瓦理論，其中牽涉──群與體的定義、線性空間與擴張次數、商群與群指數、體與子體、群與子群、群與體的對應、體的擴張與群的縮小、正規擴張與正規子群、陪集與商群、共軛……等數學概念！甚至解決了角三等分的尺規作圖問題！但是！這麼複雜、牽涉廣泛的理論，2014年日本數學會出版貢獻獎得主──結城浩，卻能將它歸結為「畫鬼腳」遊戲？！在「數學女孩」的世界，數學、學習與戀愛，都是一場有趣、鬥智的精彩遊戲！扣人情節＋生動人物＋深入解說＋全面掌握＝日本最受歡迎、高中生必讀，數學小說！●什麼是「體」？舉例來說，一個有理數的集合中，若所有數進行四則運算得到的值，仍屬於有理數，此集合為有理數的「體」。要判定多項式能否因式分解，必須先釐清，係數屬於哪個體。若在體添加元素，形成擴張體，便能讓無解的方程式變成有解！但是！這與角三等分的尺規作圖問題有什麼關係呢？●什麼是「群」？群是滿足「群公理」的「數的集合」；群公理定義一個「二元運算」，若一個集合內的數進行此運算，會具有封閉性、結合律、單位元素和反元素，即為群。但是！此「二元運算」怎麼定義？與抽象代數學有何關係？而什麼是「群的置換」呢？「置換」是什麼意思？●什麼是「伽羅瓦群」？伽羅瓦群就是伽羅瓦定義的根的「置換群」。他利用在係數體範圍內的多項式的根，製作有理式；若一個置換群內的所有置換，作用於有理式所得的值都維持不變，這個置換群就是此方程式的伽羅瓦群。但是！大小不同的伽羅瓦群有差別嗎？為什麼伽羅瓦理論可說是承先啟後呢？擴張係數體的範圍，能縮小伽羅瓦群嗎？這要如何解決高次方程式的代數可解性呢？這麼多數學難題，該如何解答？浩瀚的數學宇宙如何掌握？──天才少女米爾迦的暑期數學特訓班，開課啦！本書出現各式各樣的數學問題，難度橫跨連小學生都懂，到連大學生都不會的程度。除了用語言、圖形以及程式，來表現書中人物的思考脈絡，也會用算式來解說。如果不明白算式的意義，請忽略算式的部分，先隨故事發展看下去。蒂蒂與由梨會陪伴你，一起向前。擅長數學的讀者，除了故事，請務必搭配、跟隨算式的解說，閱讀本書。如此一來，你應該更能掌握故事的全貌。

作者介紹

作者介紹 ■作者簡介結城浩1963年生。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩系列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。出版有2011《數學女孩╱費馬最後定理》，2012《數學女孩╱哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩╱隨機演算法》（世茂出版）。http: www.hyuki.com 洪萬生紐約城市大學（CUNY）科學史博士，國立台灣師範大學數學系學士、碩士。國立台灣師範大學數學系教授兼主任（2007 8 1-2009 7 31）、台灣數學教育學會理事長（2007-2009）、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica（國際數學史雜誌）編輯委員、《HPM通訊》發行人、台灣數學（虛擬）博物館創始人之一。■譯者簡介陳冠貴專職日文譯者，台大日文系雙修中文系畢業，譯作橫跨手工藝、小說、生活、商管類等各領域。自我期許能優游於中日文之間，帶給讀者閱讀無礙的文字饗宴。苦心孤譯http: detectivestella.blogspot.tw

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產品目錄 目錄給讀者序章第1章 你喜愛的畫鬼腳1.1 交織的畫鬼腳1.1.1 兩端交換1.2 溢出的畫鬼腳1.2.1 計算數量1.2.2 由梨的疑問1.3 理所當然的畫鬼腳1.3.1 冰沙1.3.2 無可替代之物1.3.3 可以做所有的模式嗎1.4 你喜愛的畫鬼腳1.4.1 3條直線1.4.2 畫鬼腳的2次方1.4.3 畫鬼腳的3次方1.4.4 繪圖1.4.5 追求更進一步的謎題第2章 睡眠之森的２次方程式2.1 平方根2.1.1 由梨2.1.2 負號×負號2.1.3 複數平面2.2 公式解2.2.1 2次方程式2.2.2 方程式與多項式2.2.3 推導2次方程式的公式解2.2.4 傳達心情2.3 根與係數的關係2.3.1 蒂蒂2.3.2 根與係數的關係2.3.3 腦袋的整理2.4 對稱多項式與體的觀點2.4.1 米爾迦2.4.2 再訪：根與係數的關係2.4.3 再訪：公式解2.4.4 歸途第3章 探索形式3.1 正三角形的形式3.1.1 醫院3.1.2 再次發燒3.1.3 夢的結局3.2 對稱群的形式3.2.1 圖書室3.2.2 群的公理3.2.3 公理與定義3.3 循環群的形式3.3.1 往『學樂』前進3.3.2 結構3.3.3 子群3.3.4 基數3.3.5 循環群3.3.6 阿貝爾群第4章 與你共軛4.1 圖書室4.1.1 蒂蒂4.1.2 因式分解4.1.3 數的範圍4.1.4 多項式的除法4.1.5 1的12次方根4.1.6 正ｎ邊形4.1.7 三角函數4.1.8 出路4.2 循環群4.2.1 米爾迦4.2.2 12個複數4.2.3 製作表格4.2.4 共有頂點的正多邊形4.2.5 1的原始12次方根4.2.6 分圓多項式4.2.7 分圓方程式4.2.8 與你共軛4.2.9 循環群與生成元4.3 模擬考4.3.1 考試會場第5章 角的３等分5.1 圖的世界5.1.1 由梨5.1.2 角的三等分問題5.1.3 對於角的三等分問題的誤解5.1.4 尺與圓規5.1.5 可能作圖的意義5.2 數的世界5.2.1 具體例子5.2.2 透過作圖加減乘除5.2.3 透過作圖開根號5.3 三角函數的世界5.3.1 雙倉圖書館5.3.2 麗莎5.3.3 離別之際5.4 方程式的世界5.4.1 看穿結構5.4.2 用有理數練熟5.4.3 一步的重覆5.4.4 能進行到下一個步驟嗎？5.4.5 發現了嗎？5.4.6 預測與定理5.4.7 出路呢？第6章 支撐天空的東西6.1 次元6.1.1 廟會6.1.2 4次元的世界6.1.3 章魚燒6.1.4 支撐的東西6.2 線性空間6.2.1 圖書室6.2.2 座標平面6.2.3 線性空間6.2.4 ℝ上的線性空間ℂ6.2.5 ℚ範圍內的線性空間ℚ（√2）6.2.6 擴展的大小6.3 線性獨立6.3.1 線性獨立6.3.2 次元的不變性6.3.3 擴張次數第7章 拉格朗日預解式的秘密7.1 3次方程式的解的公式7.1.1 蒂蒂7.1.2 紅色的卡片『契爾恩豪森轉換』7.1.3 橙色的卡片『根與係數的關係』7.1.4 黃色的卡片『拉格朗日預解式』7.1.5 綠色的卡片『3次方的和』7.1.6 藍色的卡片『3次方的積』7.1.7 靛色的卡片『從係數到解』7.1.8 紫色的卡片『3次方程式的公式解』7.1.9 描繪旅行的地圖7.2 拉格朗日預解式7.2.1 米爾迦7.2.2 拉格朗日預解式的性質7.2.3 能夠適用嗎7.3 2次方程式的公式解7.3.1 2次方程式的拉格朗日預解式7.3.2 判別式7.4 5次方程式的公式解7.4.1 5次方程式是？7.4.2 “5”這個數的意義第8章 建造塔8.1 音樂8.1.1 茶水間8.1.2 相遇8.2 講課8.2.1 圖書室8.2.2 擴張次數8.2.3 擴張體與部分體8.2.4 ℚ（√2） ℚ8.2.5 小測驗8.2.6 ℚ（√2, √3） ℚ8.2.7 擴張次數的積8.2.8 ℚ（√2+√3） ℚ8.2.9 最小多項式8.2.10 發現？8.3 信8.3.1 歸途8.3.2 家8.3.3 信8.3.4 可能作圖數8.3.5 晚餐8.3.6 朝向方程式的可解性8.3.7 最小分裂體8.3.8 正規擴張8.3.9 以真貨為對象第9章 心情的形式9.1 對稱群S3的形式9.1.1 雙倉圖書館9.1.2 類別9.1.3 陪集9.1.4 漂亮的形式9.1.5 製作群9.2 書寫法的形式9.2.1 氧9.2.2 置換的書寫法9.2.3 拉格朗日定理9.2.4 正規子群的書寫法9.3 部分的形式9.3.1 獨自孤零零的3√29.3.2 探求結構9.3.3 伽羅瓦的正規分解9.3.4 進一步除C39.3.5 除法與同等看待9.4 對稱群S4的形式9.4.1 鈹9.5 心情的形式9.5.1 碘9.5.2 熄燈時間第10章 伽羅瓦理論10.1 伽羅瓦節10.1.1 簡略年表10.1.2 第一論文10.2 定義10.2.1 定義（可約與既約）10.2.2 定義（置換群）10.2.3 兩個世界10.3 引理10.3.1 引理1（既約多項式的性質）10.3.2 引理2（用根製作的V）10.3.3 引理3（用Ｖ表示根）10.3.4 引理4（Ｖ的共軛）10.4 定理10.4.1 定理1（『方程式的伽羅瓦群』的定義）10.4.2 方程式x2-3x+2=0的伽羅瓦群10.4.3 方程式ax2+bx+c=0的伽羅瓦群10.4.4 伽羅瓦群的做法10.4.5 方程式x3-2x=0的伽羅瓦群10.4.6 定理2（『方程式的伽羅瓦群』的縮小）10.4.7 伽羅瓦的錯誤10.4.8 定理3（添加輔助方程式的所有的根）10.4.9 縮小的重覆10.4.10 定理4（縮小的伽羅瓦群的性質）10.5 定理5（能夠以代數方式解方程式的充分必要條件）10.5.1 伽羅瓦的問題10.5.2 何謂『能夠以代數方式解方程式』10.5.3 蒂蒂的提問10.5.4 p次方根的添加10.5.5 伽羅瓦的添加元10.5.6 由梨的手忙腳亂10.6 兩座塔10.6.1 一般3次方程式10.6.2 一般4次方程式10.6.3 一般2次方程式10.6.4 5次方程式不存在公式解10.7 夏天的結束10.7.1 伽羅瓦理論的基本定理10.7.2 巡遊展示10.7.3 夜晚的氧10.7.4 無可替代之物尾聲後記索引

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