數學的40堂公開課: 從暢銷作家歐幾里得, 到高維球體堆疊的維亞佐夫斯卡, 看數學家如何突破界限, 推動世界前進 | 誠品線上

A Little History of Mathematics

內容簡介

內容簡介 耶魯大學出版社知名「小歷史」（Little History）通識系列結合理性與創意 ✕ 兼具抽象和具象 ✕ 從數學看文明演進翻轉數學教育的重要推手——絲奈薩娜．勞倫斯為你細說數學家如何透過創意和想像力，帶領人類跨越時間和空間，改變世界。◉【主題策展式的導覽】精選40大數學主題，快速認識具代表性的大師和理論，知識含金量高。◉【以故事鋪陳】聚焦數學家的發現與解謎過程，零基礎的讀者也能輕鬆進入。◉【強調整體脈絡】主題與人物交織，同時兼顧時間序，勾勒出數學在人類文明史扮演的角色。◉【多元詮釋】縱覽古今，涵納歐亞、伊斯蘭世界、女性數學家等視角，包容性強。◉【透過圖像開啟探索】以40幅版畫開啟想像，以插圖加強解說，展現數學的清晰、嚴謹、抽象之美。✦✦✦本書作者勞倫斯擁有數學、建築、工程背景，一手寫專業論文，一手寫科普文章，更在英國和歐洲推動數學教育改革。她擅長以生動的故事，將抽象概念化為日常經驗，打破人們對數學的刻板印象，因而有「為數學注入生命，變得活潑有趣」之譽。勞倫斯說：「從古到今，數學一直是探索世界的旅程，但這趟旅程大多從已知的事物開始，想去的地方往往無法一眼看見。」在本書中，她延續「小歷史」（Little Hisotry）系列精神，和你一起穿越時空，親近數學史上最具創造力的思想家。✦✦✦▌走進數學的多重宇宙從購物、理財、博奕、經濟，到物理、天文、醫學、軍事、藝術，數學無所不在：✦處理電腦資訊的二進位系統，來自布爾提出的「布林代數」。✦保險、金融、航空、醫學等產業的風險評估，需要計算「機率」。✦國際關係上的互動與決策，經常採用「賽局理論」來推衍最佳策略。✦繪畫中的線性透視技法、視覺設計的繁複花紋、令人驚歎的佛羅倫斯聖母百花大教堂建築，都與「幾何學」有關。▌認識最具創造力的大師，縱覽數學思想演進看起來抽象的純數學，蘊涵著不同世代數學家的創意與熱情。他們有的埋首探索自己的創見；有的推翻前輩的心血；有的和同行交流，攜手破解未解的謎題。這一次次的突破與翻新，正是人類文明往前推進的動力：✦歐幾里得的《幾何原本》：透過演繹推理，推導出平面幾何定理。✦黎曼的「黎曼流形」，將幾何學拓展到高維度拓樸空間。✦費馬的「費馬最後定理」，歷經三百年後才由懷爾斯證明。✦哥德爾的「哥德爾不完備定理」，證明數學系統永遠存在無法被證明的真實敘述。✦維亞佐夫斯卡找出效率最高的堆疊方式，也能運用在更多地方，其中之一就是資訊安全與加密技術。▌從數學圈小劇場，看見不同思維的碰撞✦畢達哥拉斯學派為了嚴守某個不可向數學圈外透露的祕密，將洩密成員拋入海中。✦在基督徒和穆斯林敵對的十三世紀，紅鬍子腓特烈一世的兒子，與歐洲十字軍殺戮者薩拉丁的姪子，因數學而結緣，友善地交換數學難題，相互切磋。✦義大利數學家塔爾塔利亞、卡丹諾對三次方程式解法感興趣，不但透過公開辯論奠基地位，發表過程還牽扯了誓言與背叛。✦英國的牛頓與德國的萊布尼茲各自獨立發展出微積分概念，但「微積分發明者」之爭卻延燒到十九世紀。✦軍事工程師鮑耶打破傳統歐幾里得幾何束縛，發現雙曲幾何的新世界，卻懷才不遇，抑鬱而終。✦二十世紀，十八歲的「布爾巴基」因撰寫數學教科書而享譽國際，但他的背景竟是數學家的惡作劇⋯⋯✦✦✦歡迎「註冊」絲奈薩娜．勞倫斯為所有人開設的數學公開課踏上多元精采的數學史探索之旅✦✦✦【聯合推薦】李政憲｜新北市林口國中教師，數學輔導團／教育部師鐸獎得主／藝數摺學臉書創辦人洪萬生｜臺灣師大數學系退休教授蔡依橙｜AI素養教育工作坊核心講師（依姓氏筆劃排序）【國際好評】◉「如果你想對過去三萬兩千年的數學發展過程來一趟輕鬆、全面的快速巡禮，這本書絕對是最好的選擇。它是『小歷史』，更是了不起的傑作，而最讓我激賞的，是它的主題同時兼顧了人文與數學專業知識。」——伊恩．史都華〔Ian Stewart, 《數學的用處是什麼？》（What's the Use?）作者〕◉「作者以生動的文筆，成功引領讀者進入不同時空，每一個故事都充滿樂趣！」——漢茲．斯特利克〔Heinz Klaus Strick, 《光譜》（Spektrum）作者〕◉「容易親近、令人愉快的數學簡史。」——珍娜．羅蕊奈特〔Jenna Lorenat, 《科學年鑑》（Annals of Science）作者〕◉「樂趣無窮、文筆流暢、充滿巧思⋯⋯對於希望全面了解現代數學史的學生來說，書中生動的內容將帶來極佳的閱讀體驗。」——湯瑪斯．莫瑞爾〔Thomas Morel, 《英國數學史雜誌》（British Journal for the History of Mathematics）作者〕◉「以引人入勝、明快生動的方式，講述人類如何創造數學的故事——人類文明至今仍持續演進，而數學是其中最被低估的成就。勞倫斯以精湛的文筆，清楚描繪人類史上最聰明、最具創造力的思想家的生平與貢獻，帶領讀者深入這些大師的生命經驗。這或許是一段『小歷史』，卻是了不起的成就。」——邁可．布魯克斯〔Michael Brooks, 《數學造就了我們》（The Maths that Made Us） 作者〕◉「一場引人入勝、內容豐富的數學史之旅。」——史蒂芬．斯托加茨〔Steven Strogatz, 《無限的力量》（Infinite Powers）作者〕

作者介紹

作者介紹 【作者簡介】絲奈薩娜．勞倫斯（Snezana Lawrence）英國數學史學家，致力讓數學變得有趣、容易親近。她一手寫科普文章，一手寫學術論文，著作多元豐富，更有「為數學注入生命」之譽。貝爾格勒大學（University of Belgrade, Serbia）建築與工程學士、英國公開大學（Open University, UK）數學博士。除本書外，另著有《數學沉思錄》（Mathematical Meditations, 暫譯）、《數學家的新年禮物》（A New Year’s Present From a Mathematician, 暫譯），以及與馬克．麥卡尼（Mark McCartney）合編的《數學家與他們的神》（Mathematicians and Their Gods, 暫譯）。除了文字作品外，勞倫斯還積極參與英國或國際組織，致力推動數學學習，希望讓數學教學更深刻展現數學的價值與內涵。曾任「數學史與數學教育國際研究小組」（HPM）主席、任職英國數學史學會（BSHM）理事會，目前擔任《英國數學史雜誌》（British Journal for the History of Mathematics）的助理編輯，負責統籌有關數學教育史的投稿審閱工作。此外，也先後在歐洲多所海外高校擔任客座教授。【譯者簡介】甘錫安由科學界進入譯界，在譯界持續關注科學界的「譯人」。曾任Discovery頻道、旅遊生活頻道、PC Magazine與Tom’s硬體指南網站特約編譯，現仍定期為《科學人》雜誌翻譯。書籍譯作包括：《質數的音樂：數學史上最大謎題的追尋之旅》（合譯）、《決斷的演算：預測、分析與好決定的11堂邏輯課》、《複雜之美》、《邏輯解謎》、《重力的幾何：數學大師丘成桐與廣義相對論的百年追尋》、《暗池：人工智慧如何顛覆股市生態》、《勝算：不再靠運氣！從機率、賽局到AI，解鎖預測與決策的科學》、《學數學，從「笨問題」開始》、《不用數字的數學》等。目前住在有山有海有美食的基隆，正朝全方位譯人的目標邁進。

產品目錄

產品目錄 01__數學的印記．史上最古老的數學物件：伊尚戈骨．純數學與應用數學．探索數學語言02__出土的古代智慧．解密古文明：普林頓三二二號泥板．美索不達米亞的六十進位法．泥板上的乘除法、倒數表和平方根03__書吏的故事．打開古埃及數學之門的金鑰：林德紙草書．最早留名數學史的運算者．分數與「荷魯斯之眼」．埃及數學的起源：尼羅河氾濫與拉繩人04__畢達哥拉斯學派的祕密．學派中的女性數學家．數是宇宙奧祕和人類之間的連結．理型與柏拉圖立體．畢氏學派對哲學、數學的影響05__史上最傑出的數學暢銷書．《幾何原本》的誕生．歐幾里得與演繹推理系統．古希臘三大難題 06__證明在哪裡？．《九章算術》的解題法．籌算板與計數系統．古中國的方程式和勾股定理 07__數論的黎明．丟番圖謎題．丟番圖推論的方程式推論．《論多邊形數》的幾何證明．丟番圖的重要注釋者：希帕提亞．數學家設計的聖索菲圓頂 08__「無」的起源．零vs無、空．發明零的印度數學家．關於零的起源的新發現 09__來自巴格達的回音．花拉子密和萌芽的代數種子．阿拉伯哲學之父肯迪和密碼學理論．卡拉吉率先採用代數歸納證明 10__不同概念交織而成的數學織毯．中世紀的大學，以及數學的新發展．阿德拉德帶動歐洲知識復興．費波那契的美麗數列．商人階級與實用數學 11__兩種數學之間．阿奎納與「針尖上的天使」．吉爾松尼德改良歸納證明法．奧雷姆的圖形證明．默頓計算者中的佼佼者：斯灣斯黑德 12__數學家眼中出美景．布魯內萊斯基：結合線性透視法與建築設計．阿爾伯提：最強加密法的設計者．烏切洛融合藝術與幾何結構．著迷於阿基米德立體的法蘭切斯卡．帕西奧利、達文西，以及神聖比例 13__三次方程式事件．從口吃到一夜成名：塔爾塔利亞．卡丹諾的企圖心，以及虛數的誕生．費拉里迎戰三次方程式的對決．大師的晚年 14__破解代數密碼．韋達：用簡單符號來解方程式．發明等號的人：雷科德．維吉尼亞的高難度密碼．數學家變身密碼將軍 15__世界的和諧．克卜勒的登月夢．三大行星運動定律．數學家眼中的萬物之美．納皮爾與對數的發明．《魯道夫星曆表》 16__數學機器．納皮爾的骨頭．布里格斯的對數．史卡德、帕斯卡的機械式計算機．范舒騰的圓錐曲線機 17__網路問世前，一切問梅森．孕育數學新概念的梅森學院．笛卡兒葉形線．德札格定理與射影幾何 18__永不停止的賭局．賭局中斷的分配問題．帕斯卡三角形．機率論的誕生．三百年後才獲得證明的費馬最後定理．機率與風險精算 19__封閉的國門和開放的心胸．和算：日本鎖國時期的數學．關孝和與伯努利數．建部賢弘與三角函數．日本的數學藝術—算額．蘭學開啟另一扇窗 20__獅子，女巫，微積分．最速下滑曲線．萬有引力理論．牛頓的微積分．萊布尼茲的微積分．誰才是微積分的發明者？．阿涅西的「女巫」21__數學家的重要旅程．柯尼斯堡橋樑問題．歐拉路徑．歐拉的新數學符號．至今未解的哥德巴赫猜想 22__現代幾何學，以及它留下的軌跡．微分幾何之父：蒙日．蒙日的曲面研究．拿破崙的幾何定理 23__無中生有的新世界．軍隊裡的數學家：鮑耶．歐幾里得的第五個設準．鮑耶發現雙曲幾何．羅巴切夫斯基的非歐幾何研究．凱萊的橢圓幾何 24__浪漫的數學家．阿貝爾的高次方程式研究．伽羅瓦開拓的新領域．阿貝爾群：加法的整數群．伽羅瓦群：求高次方程式解的應用 25__邏輯仙境．卡洛爾對新數學的嘲弄．二元邏輯與布林代數．從巴貝奇、勒夫雷斯到夏農的電算之路．文氏圖 26__混沌的悄然誕生．龐加萊的三體問題研究．羅倫茲蝴蝶效應與混沌理論．從黎曼流形，到龐加萊的圓盤模型．裴瑞爾曼證明了龐加萊猜想 27__無窮究竟是多大．無窮的探索．康托爾：現代集合論的起源．集合的無窮，以及阿列夫零．戴德金分割 28__多維度的展開．歐拉的凸多面體特性．施萊夫利建立的高維度幾何．辛頓探索第四維度．艾莉西亞的四維模型 29__全世界數學家團結起來．克萊因串連全球數學家．希爾伯特的未解問題清單．德恩不變量．第八個未解題：黎曼假設．希爾伯特旅館悖論 30__追求完美．羅素的悖論與類型論．策梅洛與良序集合．邏輯主義誕生．哥德爾的不完備定理 31__拉姆齊和他的朋友．派對問題與拉姆齊定理．擅解數學難題的艾狄胥．范德瓦爾登定理．海爾斯−傑維特定理．艾狄胥數串連的世界 32__抽象代數之母．突破玻璃天花板的諾特．諾特定理vs相對論．環論，理想，偶數性．從貝蒂數到代數拓樸學．諾特對後世的影響 33__名叫尼古拉的研究員．布爾巴基的誕生．布爾巴基的新數學教科書．布爾巴基的幽默與傳承．格羅騰迪克的範疇論 34__我們參與的賽局．囚犯困境．馮紐曼、摩根斯恩特、賽局理論．最小最大值定理．拉波波特的「一報還一報」．納許均衡 35__花椰菜和海岸線．曼德博集合．由碎形研究展開的世界．如何測量海岸線與粗糙度 36__未完成的工作．懷爾斯挑戰費馬最後定理．谷山−志村模型式猜想．弗雷橢圓曲線vs黎貝定理．懷爾斯證明費馬最後定理 37__瑪麗安的魔杖．米爾札哈尼：戰火中的天才數學家．從黎曼曲面，到環面的側地線．從撞球檯找出雙面環曲的特性．魔杖定理 38__數學成功的模式．陶哲軒：國際數學奧林匹亞三獎滿貫得主．格林－陶定理：孿生質數猜想．艾狄胥差異問題．非週期密鋪的結構．潘洛斯密鋪問題．陶哲軒與格林菲爾德推翻週期密鋪猜想．史密斯發現「愛因斯坦」磚 39__為新維度之旅打包．克卜勒蜂巢猜想．黑爾斯證明克卜勒猜想．三維中的裝填問題．維亞佐夫斯卡的高維球體堆疊研究 40__新數學的夢想．跨越時空，解讀並傳承數學之美．數學的創造力既美好，又令人灰心．以全新的眼光，想像數學未來的樣貌

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試閱文字

內文 : 5__史上最傑出的數學暢銷書

在希臘化時代，全世界最傑出的學者、最有趣的物件，當然還有當時的每一本書籍，都能在埃及亞歷山大城那雄偉的博物館裡找到。亞歷山大城位於地中海畔，那座博物館是亞歷山大大帝的繼任者托勒密一世（Ptolemy I）父子於西元前三世紀左右建造的，當時募集了許多十分優秀的人才，負責保存和進一步探索許多學科。

據說托勒密一世成為埃及法老後不久，就宣布想學數學。他對當時的數學教科書不滿意，原因包括許多概念分散在不同的紙草書上，紙草書上的數學主題似乎毫無關聯，也不是很有趣。難道沒有其他書籍能以輕鬆又有吸引力的方式讓他學數學嗎？

亞歷山大城的學者開始嘗試尋找解決方案，滿足他們的統治者。他們該怎麼整理當時散落在全國各地、不同書籍裡的所有數學知識？然後某人突然有了靈感：有個名叫歐幾里得（Euclid）的數學家因教學出色而聞名，於是他被找來亞歷山大城撰寫這本教科書。

▌《幾何原本》的誕生
我們對這個人本身所知不多，連他在哪一年出生、去世都不確定。他大約出生在西元前325~前320年間，西元前280~前265年間去世。比歐幾里得大約晚七世紀的數學哲學家普羅克洛（Proclus）認為，歐幾里得是柏拉圖的學生，但年代似乎不對。無論如何，歐幾里得投入大量心力，修訂和簡化當時所知的所有數學知識，彙整在一部作品中。

他在西元前二世紀初完成這部作品，分成十三卷，命名為《幾何原本》（Stoikheîa, 英文書名為Elements）。它至今仍是史上譯成最多種語言、流傳最廣的數學教科書，無數人抄寫、評論，翻譯、印刷和製作成各種格式，提供給世界各地的讀者。

《幾何原本》的數學內容不是歐幾里得的創作，而是他彙集當時所知的數學知識後整理而成。他可能剔除了他認為不重要或不適合此書整體架構的內容，顯然他希望《幾何原本》盡可能單純簡潔。（他的數學知識當然遠超出此書的內容，因為他還寫了其他數學著述，例如關於光學和視覺幾何的書籍。）

儘管如此，對於從沒學過數學的人而言，《幾何原本》仍然相當難懂。托勒密一世也這麼覺得，當時他才剛任命歐幾里得擔任博物館的第一位幾何學教師，顯然曾要求歐幾里得把幾何學寫得讓他更容易了解，但歐幾里得回答：「幾何學沒有王者之路。」

學習幾何學沒有捷徑，連國王也不例外。


▌歐幾里得和演繹推理系統
那麼我們在這個過程中可以學到什麼？

《幾何原本》的說明方式是演繹推理（deductivereasoning），也就是提出有根據的推論（由簡單前提得出的結論）。這部作品採用這樣的結構，一步步敘述一般原則和基本的自證事實，解釋複雜度逐漸提高的問題。這種從最簡單的敘述得出非常複雜的結論的方法，經過了將近兩千年的考驗，至今數學家仍在使用（但在第二十三章我們將會看到，數學家發現有個模糊之處）。

歐幾里得是建造智識結構的大師，但這套演繹推理系統不是他發明的。在他之前許久，泰利斯（Thales of Miletus, 西元前624~前547年）就已經把幾何學變成演繹的科學，同時推導出幾項出現在《幾何原本》中的明晰定理。舉例來說，以泰利斯命名的著名定理指出，一個三角形與半圓內接，而且最長邊是圓的直徑時，一定是直角三角形。

這個定理放在歐幾里得《幾何原本》第三卷的第三十一個命題。「命題」是什麼？前面曾提過，《幾何原本》分為十三卷，整部作品的結構是每一卷的內容是下一卷的基礎，也就是每一卷都以上一卷的內容為基礎再進一步論證。每一卷同樣以演繹進行說明，一開始是定義（definition），接著是設準（postulate）、共有概念（common notion），最後是命題（proposition）。歐幾里得的《幾何原本》總共包含一三一個定義、五個設準、五個共有概念，以及四六五個命題。

我們來進一步看看這些內容。

第一卷有二十三個定義，第一個定義是「點不可分割」。定義的功能，是確立我們視為理所當然的基本敘述。

接下來是設準，在第一卷中只有五個。設準是我們不可質疑的基本敘述。這一卷的第一個設準指出，我們「可從任一點到另一點畫出一條直線」。這句話無可爭論，但必須先提出，以便後續使用。

接著是共有概念，第一卷中同樣有五個。共有概念有時又稱為公理（axiom），與量有關，同時建立元素（點、線、圓、角）之間的關係。第一卷的第一個共有概念是「與同一事物相等的事物彼此相等」。

最後是命題，有時又稱為定理。第一卷共有四十八個命題，其中第一個命題指出，我們可以「在給定的有限直線上作出等邊三角形」。命題是可以證明或建構的事物。在數學中，證明某個事物是演示它確實成立，無可懷疑。

在歐氏幾何中，想建構某個圖形，只能使用直尺和圓規，這也是當時僅有的幾何學工具，稱為歐幾里得工具（Euclidean tool）。沒有測量，沒有計量單位，只依賴圓規的開合、直線，以及各種量之間的比較，例如長度、面積、體積或角度等。

▌古希臘三大難題
前面曾提過的泰利斯，是西元前六世紀古希臘七賢之一。七賢是一群傳奇智者，泰利斯是其中唯一的數學家。他（至少是這幾位賢人當中的一位）有句名言是「認識你自己」。這幾個字刻在德爾菲（Delphi）阿波羅神殿的入口，而希臘神話認為德爾菲是世界的中心。數學的歷史有時相當接近神話，在古希臘，這座神殿是數學和神話最接近的地方。這座神殿曾經提出一個問題，讓數學家困擾了兩千年之久。

西元前五世紀，希臘發生瘟疫，造成許多人死亡。提洛斯島（Delos）的居民認為瘟疫是太陽神阿波羅（和許多其他身分）降下的懲罰。他們到阿波羅神殿詢問有「德爾菲神諭」之稱的女祭司皮提亞（Pythia）該怎麼辦。皮提亞回答，為了平息阿波羅的怒氣，必須把阿波羅的祭壇加大成兩倍。這座祭壇是十英尺高的立方體，裝飾得十分華麗。把立方體加大到兩倍？這有什麼困難？提洛斯島民馬上就答應了。

不過他們感到十分困惑。把邊長加大到兩倍，最後立方體的體積會變成原本的八倍。改變一邊或兩邊的長度，形狀又會改變。他們甚至向柏拉圖求助，連柏拉圖也被難倒。

這個問題稱為提洛斯難題（Delian problem, 注1），重點是如何找出2的立方根。數學家最後（直到十九世紀）證明，只使用西元五世紀的幾何學歐幾里得工具（直尺和圓規），不可能完成這個要求。聰明的柏拉圖斷定，惡毒的太陽神要希臘人忙於苦思，不要生活在邪惡和戰爭中。

提洛斯難題是如今稱為古希臘三大難題的其中之一，另外兩個問題是：三等分任意角（把任意角分成三等分），以及化圓為方（畫出面積與圓相同的正方形），同樣只能使用歐幾里得工具。

90度角等某些角很容易就能三等分成三個30度角，但數學家兩千年後終於證明任意角無法三等分。

化圓為方問題也是如此。希臘人知道如何計算圓的面積，計算時需要特別的數字π。一般認為阿基米德曾算出π的值介於3又1/7和3又10/71之間。這個數字已經相當正確：如今我們知道π是3.14159（小數點以下五位），阿基米德（Archimedes, 西元前287~前212年）的結果則是介於3.14085和3.14286之間（同樣是小數點以下五位）。π是圓的周長和直徑的比（圓周長除以直徑），圓的面積則是π乘以半徑的平方。

有人試圖解決化圓為方問題，而且相當接近成功。希奧斯的希波克拉底（Hippocrates of Chios, 西元前470~前410年）曾經嘗試把某些圓的面積畫成正方形，而且獲得相當程度的進展。他撰寫的《原本》（Elements）是歐幾里得同名著作的範本。他證明我們可用測量直線圖形的方式來測量新月形（兩個圓圍出的月牙形）。但到了十九世紀，數學家證明，只用直尺和圓規同樣無法解決化圓為方問題。

這兩千年之間的大多數時間，數學家都放不下這三個著名的難題。他們孜孜不倦地研究這些問題如何解決，甚至是否可能解決。從這點可以看出，數學家不會輕易放棄，但也不介意把未解決的問題留給下一代解決。在某個地方會有某個人找到答案，或是證明不可能找到答案。這就是數學從最早期一脈相傳的特色：超越時間和空間，努力不懈地追尋解答，首先研究這個問題的人不會刻意祕而不宣。畢竟誰抵擋得了數學奧祕的誘惑？

古希臘人以他們的數學成就，為世人留下龐大的遺產。他們創造出這麼多建構數學知識、運用證明和研究問題的方法，獨步世界所有文化。毫無疑問的，歐幾里得的《幾何原本》整合所有數學概念，超越其他文化的任何一本書。他留給我們接近十全十美的結構、延續兩千年之久的抽象思考智識大廈，以及至今仍然嘉惠所有數學學習者的重要教科書。

注1：提洛斯難題又稱為「倍立方問題」。

最佳賣點

最佳賣點 : 耶魯大學出版社知名「小歷史」（Little History）通識系列
結合理性與創意 ✕ 兼具抽象和具象 ✕ 從數學看文明演進
翻轉數學教育的重要推手——絲奈薩娜．勞倫斯
為你細說數學家如何透過創意和想像力，
帶領人類跨越時間和空間，改變世界。

活動

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