圖解數學基礎入門 (全新修訂版)

第1章　「數」的探索

「數」的故事

●數的架構

數的觀念從計算開始

●零的發現

代表什麼都沒有，卻具有重要的意義

●負數的功用

計算數目時少不了負數

●有理數的延伸

從加減乘除演算之數的觀念，延伸到有理數

●無理數的存在

有理數已得證，無理數的春天在哪裡？

●不可思議的虛數i

複數果真存在嗎？

●單純又神秘的質數

「質數」為數的原子

●專欄　每個數字都有不同的意義

第2章　釐清「數」的關係

「函數」的故事

●何謂函數？

飲料或車票自動販賣機也是一種函數的運用

●一目了然的座標圖

一次函數為直線、二次函數為拋物線、反比為雙曲數

●方程式的解題絕招

先建立方程式為解題的要訣

●採用聯立方程式的鶴龜算法

複雜的計算在於寫出方程式

●二次方程式的解題公式

以二次方程式的判別式判斷解答的性質

●三次方程式及解題秘密

數學史上最引人矚目的解法插曲

◎專欄　真的有方程式解法嗎？

第3章　幾何學之美與謎

「形狀」的故事

●幾何學大復活！

三角形的五心──重心、內心、外心、旁心、垂心

●形狀的確定

直線構成的圖形面積請用三角形求解

●形狀的排列

任何的正多角形磁磚的舖設問題

●圓周率的計算歷史

圓周率π的故事

●黃金矩形之美

二次方程式與黃金比例

●利用尺及圓規解題

希臘三大難題：倍立方體體積、角的三等份、圓的面積

●正多面積只有五個

「正多面積為無限」是錯誤觀念

●歐基里得幾何學

知名度僅次於聖經的《原理》是近代科學方法論的基礎

●非歐基里得幾何學

與歐基里得幾何學體系不同的幾何學

◎專欄　代數幾何學的研究

第4章　矩陣的運用

矩陣與向量的故事

●矩陣或向量的用途為何？

只有數字陳列的矩陣或向量具有深遠的意義

●向量的加法與減法

矩陣或向量按照計算規則發揮力量

●矩陣的乘法

矩陣或向量在乘法中更能發揮作用

●矩陣為一變換的機器

通過某個矩陣後向量變身為新風貌

●用矩陣解聯立方程式

只要利用反矩陣即可解開聯立方程式

●向量翱翔天空

透過許多力的向量合成可以飛行無礙

●經濟上中運用的矩陣！

馬可夫鏈可預測汽車的市場佔有率

●賽局理論運用於網球比賽

經濟或運動等競爭全都可藉為賽局理論求勝

◎專欄　未來的預測

第5章　數學之王微積分

微分與積分的故事

●重點是計算面積

積分的起源來自古埃及尼羅河的氾濫

●越切越小的圖形

阿基米德的構思開啟微積分學的大門

●積分的構思

利用極限思考算出曲線圖形的面積

●追求瞬間速度

千變萬化的速度唯有微分可以掌握

●微分再微分

追蹤函數曲線的最大線索是導函數

●微分不離積分

魔棒一揮，微分與積分緊緊相依

●函數f(x)和f’(x)

了解微積分基本定理，積分變簡單

●應用微積分

生活周遭都是微積分的應用實例

◎專欄　阿基里斯的比賽

第6章　偶然的科學

機率的故事

●與命運女神邂逅的方法

將「偶然」科學化的機率論起源自賭博

●擲6次必定會出現1次嗎？

機率的基本為大數法則──小心不要用錯

●排列與組合的觀念

在機率中計算場合的數量成為基數

●亂槍打鳥也會中？

「至少……」等機率問題，可運用餘事件解釋

●不太可靠的直覺

在40人的班級中生日相同者的機率為89%

●先抽先贏？

畫成機率的樹形圖，一清二楚

●紅球與白球的機率

製作圖表，一清二楚

●贏錢或輸錢的平均

運用期望值評估賭博，結果發現都是賠

●亂數具有的深刻意義

亂數無所不在

●統計的比較

平均與標準差

◎專欄　不了解機率的話連命都沒了

第7章　這麼想就對啦

指數‧對數和數列的故事

●天文學的數字計算

從微小世界到極大世界，都是指數函數的概括範圍

●天才數學家高斯的計算

等差數列之和的快速算法

●超乎想像空間的等比數列

多倍數的計算易如反掌

●生活周遭中的等比數列

銀行存款、貸款利息、音階世界等，都是等比數列

●對數世界十分有趣

對數和指數正好相反

●讓計算變簡單

煩人的複利計算，用對數就對了

●知覺其實是對數感覺

星星亮度等級、聲音強弱的分貝、地震的震度級數……

●自然界中的對數和指數

自然界中的指數或對數

◎專欄　不可思議的e=(ex)’=ex

第8章　和三角函數作朋友

三角函數的故事

●給畏懼三角函數的人

sin、cos、tan是好朋友三人組

●用棍子測量高度

泰利斯測量金字塔高度的方法

●跨越障礙的餘弦定理

碰上山或建築物無法直接測量時的距離算法

●正弦定理的測量妙方

神通廣大的三角測量

●電氣也是正弦的世界

若沒有三角函數就日夜不分了

●用途無限的三角函數

重現美妙音色的，正弦曲線的組合

●傅利葉轉換

DNA的雙重螺旋構造也可用傅利葉轉換解釋

◎專欄　神秘的Euler公式

第9章　數學展開新世界

新數學的故事

●形狀在空間中的變化

可以發現局部性和全面性差異的拓樸學

●誰在說謊？

動搖數學基礎的羅素詭論

●何謂不確定性理論？

一個人無法決定自己的價值

●模糊理論

地下鐵或NASA的太空梭都有關係

●天氣預報為何不準確？

模糊不清或無秩序的混沌現象經常可見

●何謂碎形圖形？

介於一維度與二維度之間的維度空間圖形

●破局的分析

破局理論將急遽變化加以規範

●電腦運用的數學

兩個數字組合即可表現邏輯

●集合與邏輯

集合理論與邏輯推論

●對稱之美

一切都源於哥羅亞的方程式解法

●「維度」另一章

三度、四度、五度……自由思考多維度空間

◎專欄　費瑪大定理的證明

川久保勝夫

川久保勝夫

1942年生於日本長野縣，東京大學理學院數學系畢。取得同大學的碩士學位後，曾任普林斯頓高等研究所研究員、紐約州立大學研究員、波昂大學客座教授以及赫爾辛基大學客座教授。目前為大阪大學理學院教授，理學博士，也是日本數理協會的理事兼評議員。

李盈嬌

審訂者簡介

李盈嬌

台北市人，台灣大學數學研究所碩士

高淑珍

高淑珍

輔仁大學日文系畢，曾任錦秀出版社日文編輯、舜恕編譯室日文譯者，自組「日文翻譯工作室」十多年，目前為多家出版社的特約譯者。