理工系のための実践的微分積分

大学に入学した理工系の学生は,最初に数学で微分積分と行列と行列式(線形代数)を学びます.それぞれの専門分野に進んだとき,自然現象を記述する言語としての数学の知識を持ち,計算に習熟している必要があるからです. 微分積分といえば,数列の極限,関数の連続性などの議論を積み重ねた後に学ぶのが通例です.しかし,この教科書では,基本的な関数に慣れ計算できるようになることを重視し,他書のように数列,極限や連続性について精密な記述にとらわれることなく,グラフや数値例などにより,体験的に極限の概念や連続性の概念を把握できるように工夫しました. 微分積分の計算についても,公式をやたらに並べるのではなく,「こんなことができればいいな」と考えて,少しずつ計算のテクニックが増えていくよう叙述しました.導関数の計算も単なる計算問題にとどまらず,早めに微分方程式の概念を導入し,基本的な微分方程式の代表的な解を紹介するよう心掛けました.力学や電磁気学などを平行して学んでいるでしょうから,数学と応用の相互のつながりを意識してほしいとの期待からです.また,数学としての一体感を体得してほしいと考え,線形代数(行列と行列式)の用語や知識も用いました.数学という対象を探求していくという流れを重視して,定理,証明という順序ではなく,説明のあとで考察のまとめとして定理を述べる形で叙述したところもあります.このような探求の流れを理解することは,さらに進んだ数学を学ぶにあたって大事であるばかりでなく,それぞれの専門分野を探求するにも役立つことでしょう. 本書は,理工系の学生のための専門基礎科目としての微分積分の教科書です.理工系の学生は,大学入学とともに,微分積分と線形代数を学ぶのが通例です.このうち微分積分は,これまでは,高校で基礎的な計算については学んでいるという前提で,理論の精密化という観点から,数列と極限,関数の連続性など実数の基本的性質について学ぶことから始めることが一般的でした. しかし,時は移り世は変わり,大学入学時点で学生の微分積分に関する知識は,以前ほどには仮定できなくなってきています.また,大学での数学の授業時間数も半減し,計算力を養うための演習に割く時間にも事欠くのが現状です. 今回,新しい教科書を書くことにしたのも,従来の教科書では授業が進まない現状があるからです.このため,この教科書では,思い切った叙述を試みました. 実数の基礎から論じるという従来の,そして論理的な順序とは異なり,逆3角関数を最初に紹介して関数の取り扱いに習熟し,最小限の極限値を直観的に把握させた後,直ちに微分係数と導関数を導入し,計算と応用を解説しました.微分方程式の概念を(言葉だけですが)早めに導入し,解の概念を把握できるように心掛けました.積分の計算も,煩雑なものは避け,概念が直観的に理解できるよう叙述しました.多変数関数の偏微分,重積分についても同じ考え方でわかりやすさを心掛け,基本的な練習問題を数多く取り入れました. 基本的な関数に慣れ計算できるようになることを重視し,数列,極限や連続性について精密な記述にとらわれることなく,グラフや数値例などにより,体験的に極限の概念や連続性の概念を把握できるように工夫した.