德國一流大學教你數學家的22個思考工具

數學是最迷人的思考活動，將手邊有限的訊息加以消化、理解、進一步掌握，找出問題並尋求解答。本書將介紹22個容易理解、但極為有效的思考工具，讀者們只需具備基礎數學知識跟一顆嘗試冒險的心，即可徹底學會數學抽象化思考的技巧，運用邏輯能力將問題化為捷徑。本書是寫給不排斥數學，但總是不得其門而入的讀者。你將學到數學家如何思考問題以及求解，深入體會數學最迷人的真正精髓。這本書原本是德國斯圖加特大學2006年的夏季學期中，針對非數學系學生所開設的課程教材改寫而成。（課程名稱為：與數學的相遇）為什麼很多人始終無緣一窺數學堂奧？為什麼你看得懂別人的算式，卻沒有辦法解一個別人沒解過的問題？作者在本書向大眾介紹22個以數學原則做基礎的思考工具，不只可以簡化大多數人面對難題而本能產生的複雜想法，更要活絡你的思路，學習用數學的抽象思考方式解決各種難題。有效的思考工具，就是幫助你運用想像力跟邏輯思維，把問題化繁為簡，再以此進一步求解，例如：Q：一整片格子狀巧克力，若要全部折斷成單格的小片，最少需要折幾次才能辦到？→用「類比原理」思考：試著折斷一片巧克力，折斷後的塊數，永遠比折斷次數多1……Q：數學天才高斯七歲的時候，老師要全班同學計算「從1加到100的總和」。高斯只花了幾秒就把答案寫好。他是怎麼算出來？→用「富比尼原理」思考：把數字分組，讓每一組數字的和永遠相同，再計算共有多少組……Q：有2n位大使受邀參加一個慶祝會。每位大使在這群人中最多有n - 1個敵人。要怎樣安排圓桌座位，才能讓每位大使都不會坐在自己的敵人旁邊？→用「單向變化原則」思考：A大使的朋友旁邊，絕不可能都坐著B大使的敵人……22個數學思考工具：1. 類比原則我們能將這個問題回推到另一個已知答案的類似問題嗎？2. 富比尼原理我們可否算出某些東西的數目，但卻是用完全不同的方法去算出來？3. 奇偶原理我們可以從問題是否可能具體區分成兩個互不重疊的類別，來得知問題有沒有解嗎？4. 狄利克雷原理如果 n+1 個物件要任意存放在 n 個格子內，至少會有 1 個格子放了2 個物件。5. 排容原理我們能不能從比較容易計數的子集合，來算出某個集合中的元素個數？6. 相反原則我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的，然後透過無懈可擊的邏輯推導，得出與所假設事實矛盾的結論，以此來證明原本的斷言是對的？7. 歸納原則為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質，可以先證明第一個東西有此項性質，然後再證明，若其中任意一個東西具有該性質，則下一個東西也有此性質。8. 一般化原則解決一般問題時，可不可以先刪去一些條件或是改變一些約束條件，然後再把求得的解運用在眼前的特殊情形？9. 特殊化原則解題時可以先看特殊情況，然後從特殊情況的結果推廣到一般情況的求解嗎？10. 變化原則我們是不是可以透過控制改變問題的某些層面，從新的角度來觀察，對原本的問題有更深入的理解，進而解開問題？11. 不變性原理系統裡有沒有一些性質，是在系統本身允許改變時也保持不變的，而從這些性質可以推導出系統可能的發展結果嗎？12. 單向變化原則在系統經歷了可允許的改變下，系統中有沒有一些性質只會以一種特定方式改變，且從這些變化可以推斷出系統可能的發展？13. 無窮遞減法則我們可不可以先替某件事給個例子，然後假設從這個例子一定可以推到越來越小例子，但實際上不可能永無止境地越推越小，因而證明這件事不可能發生？14. 對稱原理在給定系統裡有沒有某些對稱性質，可以讓我們從中取得資訊？15. 極值原理我們能不能從給定問題的極端情形，研究出所有情形的相關資訊？16. 遞迴原理解題時可以將問題一步一步推到更簡單的版本嗎？17. 步步逼近原則解題時，可以先找出一個近似解，然後在後續步驟中持續改進嗎？18. 著色原理我們可以透過使用顏色，在問題的結構中建構出模式，然後從中汲取解題的資訊嗎？19. 隨機化原則我們可以在問題裡引進一個隨機的機制，使問題簡化嗎？20. 轉換觀點原則解題時可以從目標往起點反向進行，然後再翻轉思考方向嗎？21. 模組化原則解題時可以將問題分解成許多子問題，解決之後再將這些部分解合併成完整的解？22. 蠻力原則我可以透過試遍所有可能的解法來解題嗎？