怎樣解題 | 誠品線上

How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method

內容簡介

內容簡介 任何領域的每一個人，都必須學會怎樣解題。 本書作者波利亞，是數學教育史上極重要的數學教育家，《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代表作，自出版以來，已經影響了一代又一代的讀者。在書中，波利亞提出了解題的四大步驟，並且穿插了範例，你可以跟著波利亞的腳步，學會如何從推理與提問，直搗證明題或求解題的核心，而這樣的數學方法，對解決任何問題都有幫助。 熟讀《怎樣解題》，你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。

作者介紹

作者介紹 ■作者簡介波利亞（G. Polya）1887年生於匈牙利布達佩斯，父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學，在布達佩斯大學取得數學博士學位。 第一次世界大戰期間，波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院（ETH）擔任教職，於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。1940年，由於歐陸政治情勢，被迫移民美國，1943年起獲聘為史丹福大學的教授，直到1953年榮譽退休。退休後，波利亞仍十分忙碌，除了繼續在史丹福授課，更熱心數學教育，致力研究數學問題的解題策略。波利亞是二十世紀極重要的數學家、數學教育家。在純數學領域，他與Gabor Szego合寫了《分析中的問題與定理》（Problems and Theorems in Analysis）這部傑作；在數學學習及教學方面，除了《怎樣解題》，還陸續出版了《數學與猜想》（Mathematics and Plausible Reasoning，共兩卷）與《數學的發現》（Mathematical Discovery，共兩卷）。■譯者簡介蔡坤憲東海大學物理系畢業，國立交通大學電子物理所碩士，曾在中學服務三年，任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學（University of Waikato）科學與科技教育研究中心，攻讀科學教育博士學位，研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計；也在懷大物理系兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。譯有《觀念物理II：轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》，著有《觀念物理VI：習題解答》（皆為天下文化出版）。

產品目錄

產品目錄 英文版初版序初版第七刷序第二版序「怎樣解題」提示表序 康威（John H. Conway）前言第一部：在教室裡目的第1節： 幫助學生第2節： 提問、建議、心智活動第3節： 普遍性第4節 常識第5節：老師與學生、模仿與練習主要步驟及主要提問第6節： 四個階段第7節： 了解問題第8節： 例子第9節： 擬定計畫第10節： 例子第11節： 執行計畫第12節： 例子第第13節 驗算與回顧第14節： 例子第15節： 不同的做法第16節： 老師提問的方法第17節： 好的提問與壞的提問更多的例子第18節： 作圖題第19節： 證明題第20節： 速率問題第二部：怎樣解題 一段對話認識問題進一步了解問題尋找有用的好想法執行計畫回顧第三部 啟發法小辭典類比／輔助元素／輔助問題／波爾察諾／靈感／你能驗算結果嗎？／你能用不同的方法導出這個結果嗎？／你能運用這個結果嗎？／執行計畫／條件／矛盾／系理／你能從已知數中找到什麼線索？／你可以把問題重述一遍嗎？／分解與重組／定義／笛卡兒／決心、希望與成功／診斷／你是否使用了所有的已知數？／你知道什麼相關的問題嗎？／畫個圖／檢查你的猜測／圖形／一般化／你以前見過它嗎？／這裡有個已經解決過的相關問題／啟發法／啟發式推理／如果不能解決眼前的問題／歸納與數學歸納法／發明者的悖論／這個解能否滿足所給的條件？／萊布尼茲／引理／仔細看未知數／現代啟發法／符號與記法／帕普斯／拘泥與精通／實際的問題／求解題與證明題／進展與成就／字謎／歸謬法與間接證法／多餘的／例行性的問題／發現的法則／表達風格的守則／教學的守則／把條件的各個部分分開／列方程式／進度的象徵／特殊化／潛意識的工作／對稱／解題的術語／量綱檢驗法／未來的數學家／聰明的解題高手／聰明的讀者／傳統的數學教授／改變問題／未知數是什麼？／為什麼要證明？／諺語的智慧／倒推法第四部：問題、提示、解答

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試閱文字

內文 : 第一部　在教室裡


主要步驟及主要提問


6. 四個階段


在尋求解答的過程中，我們的想法往往會一再改變，看待問題的方式與觀點，也都會一再產生變化。在剛開始解題時，我們對問題的了解可能很有限，也不完整；在有些進展以後，會對問題產生不同的了解；到了快要知道答案的時候，對問題自然又有一番新的認識。


為了方便把「提示表」上的提問和建議分門別類，做個整理，我們把解題活動分成四個主要階段：首先，我們必須要了解問題：我們必須很清楚地知道，什麼是我們要尋找的解答。第二，我們必須要了解問題裡存在的各個關係，例如已知數和未知數之間有什麼關係，並據此擬定一個計畫，來求得解答。第三，我們確實動手來執行計畫（數學計算）。最後，我們要回顧整個解答過程，驗算答案並討論它的意義。


每個階段都有它的重要性。有時候，學生也許會靈光一閃，可以跳過所有的準備步驟，直接得出解答。當然很多人都希望能有這種幸運的時光；但是相對來說，沒有人會希望，在辛辛苦苦經歷這四個階段之後，卻還是無法得出什麼好點子。最糟的情形則是，學生在了解問題之前，就匆匆動手開始計算。一般來說，在不了解問題的整體關聯，或是心裡還沒有份計畫之前，就開始從事細節的計算工作，往往是無濟於事的。此外，在執行計畫（計算）的過程中，如果學生可以一步一步地檢查，往往可以避免很多錯誤與疏失。若少了驗算，或是沒有回顧一下解答的過程，則往往無法從解題的活動中，獲得最佳的結果。


7. 了解問題


去回答一個你不了解的問題，實在是件愚蠢的事情。為了你不想得到的結果，卻又必須辛勤工作，實在很令人沮喪。不論在學校裡或學校外，這類愚蠢而又令人沮喪的事，卻經常發生。老師實在應該避免讓這類的事情，在他的課堂上發生。學生應該要了解問題，但是，光只有了解問題是不夠的，他們還應該要有份渴望或動機，希望去把解答找出來。如果學生缺乏對問題的了解或興趣，這並不全然是他們的錯；選題或出題要恰當，不要太難，也不要太簡單，並要自然而有趣，而且要有足夠的時間，來對題目做自然而有趣的說明。


首先，題目的敘述，必須是學生所能理解的。在某個程度上，老師可以檢查這點；他可以要求學生再說一次問題，學生應該可以很流利地複述出問題。學生應該也可以指出問題裡的主要部分為何：未知數、已知數和已知的條件等。所以，老師實在很難會漏掉「什麼是未知數？」「什麼是已知數？」「有哪些已知條件？」這些問題。


學生應該要很小心地、反覆地、並從不同的角度來考慮問題的主要部分。如果題目需要圖形的輔助，就畫個圖，並在圖上標示出未知數和已知數。若需要對圖裡的物件（對象）命名，就要使用適當的符號或記號；花點心思選用合適的符號，也能使我們好好思考這些符號所代表的對象本身。在這個準備階段裡，其實我們並沒有預期一個確切的答案，所需要的只是一個猜測或暫時的答案，所以還有一個可能有用的提問：這個答案能否滿足所給的條件？


本書第二部裡把「了解問題」這一階段，又細分為兩個階段：「認識問題」與「進一步了解問題」。


8. 例子


我們舉些例子，來說明前面所說的要點。我們用下面這個簡單的題目為例：已知某長方體之長、寬、高，求對角線長度？


為了要讓討論更具意義些，學生最好已經熟悉畢氏定理以及此定理在平面幾何上的一些應用，但卻不熟悉三維空間的立體幾何。老師可以從學生還不甚熟悉的空間觀念出發。


老師可以把問題「具體化」，讓它變得有趣些。教室正好是個長方體，它的長、寬、高都可以直接測量或估計出來，因此，學生必須找出或「間接測量」出教室的對角線長度。老師可以透過手勢或肢體語言，比劃出教室的長、寬、高，及其與對角線之間的關係，並在黑板上畫圖；視學生的反應，這個過程也許需要重複個幾次。


師生之間的對話，可以這麼開始：


「未知數是什麼？」


「長方體的對角線長度。」


「有哪些已知數？」


「長方體的長、寬、高。」


「請你引入適當的記號。該用什麼字母來表示未知數？」


「x。」「你會想用哪些字母來表示長、寬、高呢？」


「a、b、c。」


「a、b、c與x之間，必須滿足什麼條件？」


「x是長方體的對角線長度，長方體的長、寬、高分別是a、b、c。」


「這個問題合理嗎？我的意思是，已知的條件足以決定未知數嗎？」


「足夠了。因為如果長、寬、高（a、b、c）已知，長方體就已知。如果長方體確定了，那麼它的對角線長度也就確定了。」


9. 擬定計畫


當我們知道（或至少大概知道）需要有哪些計算、演算步驟或圖形，才能求出未知數時，我們算是已經有個解題計畫了。從了解問題，到能夠產生解題計畫，可能是個漫長而崎嶇的過程。事實上，解題過程中的最主要成就，就是構思出解題計畫。解題的想法，可能是逐漸形成的，也可能是在經歷一連串的嘗試錯誤及猶豫遲疑之後，忽然靈光一閃而找到的「靈感」。老師能給學生的最大貢獻，就是不露痕跡地幫學生找到靈感。在這一節裡，我們所要討論的提問與建議，就是如何去激發出這些靈感。


為了能夠從學生的角度想事情，老師要去思索自己在解題過程中，所遭遇過的困難與成功經驗。


當然，我們知道，如果我們對問題所知有限，是很難產生什麼好想法的。若是對問題全然無知，則根本不可能會有任何想法產生。好的想法，是建築在過去的經驗，以及所學習過的知識之上的。單純地記憶知識，是不足以製造出好的想法的；然而，完全沒有知識，卻也無法產生任何想法。就像光只有磚頭、木材等材料，是不足以蓋好一間房子的，但是，少了這些必要的建築材料，也沒辦法蓋好房子。求解數學問題所需要的基本材料，就是課堂上正式教導的數學知識，例如正式介紹過的例題，或證明過的定理。因此，一個常見的恰當提問可以是：你知道有什麼相關的問題嗎？


但是，困難的地方是，有太多的問題，都和眼前待解的問題相關，也就是說，有太多的問題，和目前的問題有共同點。如何從這麼多的問題中，挑選出一個（或少數幾個）真正有用的問題，才是關鍵所在。有個建議可以幫助我們明確地找到真正的共同點：仔細看未知數！然後試著想想，有否有什麼類似題，帶有相同或相似的未知數。


如果可以想起以前解過的某個例題，非常類似目前的問題，那很幸運！我們應該好好珍惜這份幸運，好好地利用這道例題：這是個和目前相關，而且以前已經解過的問題，你可以怎麼利用它呢？


若能好好地了解並仔細考慮前述這些提問，通常都能引導出一系列有幫助的好想法；然而，它們並非萬靈丹，偶而還是無法引導出好的想法。這時候，我們必須試著由其他的角度出發，來探索問題；此時，我們需要改變、轉化或修改原本的問題。你可以重述問題嗎？提示表中的某些提問，就是專門用來改變問題的，例如：一般化、特殊化、利用類比、除去部分條件等等，這些細節當然很重要，但是我們現在暫時無法一一深究。對題目做些修改，可能可以引導出一些適當的輔助問題：如果你無法解出眼前的問題，那麼先試著解一些相關的問題。


試著運用不同的已知問題或定理，考慮各種可能的修改方式，實驗各種不同的輔助問題，種種這些嘗試也許會讓我們偏離原來的問題，甚至完全迷失方向。然而，有個很好的提問，可以幫我們找回焦點：你是否使用了所有的已知數？你是否使用了全部的條件？


10. 例子


再回到第8節所舉的例子。此時，學生剛剛成功地對問題有初步的了解，也對解題產生了一些興趣。他們現在可能有些自己的想法或初步的計畫。


然而，如果老師在仔細的觀察之後，仍然看不出學生有任何初步的解題計畫，那麼他就必須要小心地重新開啟和學生之間的對話。他必須準備去重複一些提問，而學生可能還是無法回答這些已經稍加修改過的提問。他也必須準備好，去處理學生因為困窘而產生的沉默（我們以刪節號「……」來表示學生的靜默）。


「你可知道有什麼相關的題目嗎？」


……


「仔細看未知數！有沒有什麼其他的問題，帶有相同的未知數？」


……


「好，未知數是什麼？」


「長方體的對角線。」


「有沒有什麼類似題，帶有相同的未知數？」


「不知道，我們還沒有學過任何關於長方體對角線的問題。」


「有沒有任何一個問題，有類似的未知數？」


……


「給你一點提示，對角線是一條線段，線段是條直線。你從來沒有解過未知數是條直線的問題嗎？」


「當然有，我們解過一些類似的問題，例如求直角三角形的邊長。」


「很好，這就是一個和眼前相關的題目，而且你已經解過了。你可以把它運用到現在的題目上嗎？」


……


「你很幸運能記得一個以前解過的問題，而且和現在這個問題有關係。你想不想運用一下呢？可不可以想到什麼輔助元素，來讓以前這個問題變得有用呢？」


……


「看，你記得的問題裡有個三角形。那麼這個問題中的長方體裡是否也有個三角形呢？」


我們希望最後的這個提示已經足夠清楚，可以幫助學生想到，解題的關鍵想法，就是引進一個直角三角形（如圖1所示），而長方體的對角線就是這個三角形的斜邊。然而，老師必須有心理準備，即使這個提示已經很明顯了，但對學生來說，可能還是不夠清楚，所以老師還需要再準備一個比一個更明顯的提示才行。譬如：


「你可以在圖中，畫出一個三角形嗎？」


「你希望圖中有什麼樣的三角形呢？」


「雖然你還無法解出對角線，不過你說，你可以找出一個三角形。現在你要試著找找看嗎？」


「你可以看得到對角線嗎？它是不是三角形的某一邊呢？」


不論老師幫了多少忙，當學生終於成功地體認到，圖1的直角三角形，是解題所需的關鍵輔助元素時，老師應該可以相信，在鼓勵學生實際動手計算之前，他們已經想得夠遠了。



「我想，在圖上畫出三角形是個好想法。現在你有三角形了，那麼你有未知數嗎？」


「未知數是三角形的斜邊，這可以由畢氏定理算出來。」


「是的，如果直角三角形的兩股已知的話！可是這兩股是已知數嗎？」


「有一股已知，就是c。至於另外一股，我想，它並不難求出。對了！它是另外一個直角三角形的斜邊長。」


「很好！現在我已經可以看到你的解題計畫了。」


摘自《怎樣解題》第一部：在教室裡

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