大域微分幾何 中卷: 活動標架法 (第2版) | 誠品線上

大域微分幾何 中卷: 活動標架法 (第2版)

內容簡介

內容簡介 《大域微分幾何》全書共三卷。內容主要對象是彎曲的空間，上卷大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿，以此為基礎，展開中、下両卷，進入大域幾何研究的專業。 這套書三卷分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」（moving frames）及「幾何變分學」，涵蓋九大篇，共三十章，並於上卷與下卷加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章，以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。 中卷「活動標架法」先介紹「張量的微積分」，從「平均」的視角出發，導入均曲率、Diverence與Laplacian等相關的幾何概念，刻劃結構方程的意涵。然後藉由微分式(differential form)的運算，發展「活動標架法」，有效處理彎曲空間的大域問題。 ◎本書特色 1. 全書以深入淺出的解說方式，藉由直觀，逐步引入艱深的幾何硏究。 2. 問題中心論：內容的鋪陳，經常圍繞著自然的提問。 3. 採二維計算方式呈現數學式子的推演，使學習者一目瞭然，容易掌握運算過程。 4. 適合「微分幾何學」進階研究，及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。

作者介紹

作者介紹 黃武雄黃武雄學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士經歷：國立臺灣大學數學系教授、中央研究院數學所研究員相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的冬天》。

產品目錄

產品目錄 中卷前言 《大域微分幾何》三卷書二版序 中卷 活動標架法 篇四 張量的微積分 第13章 平均的概念 第14章 子流形，均曲率與Laplacian 第15章 外微分與Divergence定理 篇五 Riemann幾何的結構 第16章 結構方程 第17章 張量的共變微分 第18章 活動標架法的運算基礎 篇六 活動標架法與大域幾何 第19章 高維流形的Gauss-Bonnet-Chern定理 第20章 Bochner's Technique 第21章 Laplacian的特徵值 附錄 全書參考文獻 全書索引

商品規格

試閱文字

自序 : 《大域微分幾何》三卷書二版序（摘錄）

1、
這三卷書去年初版。出乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下卷最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。

雖然有了這些瑕疵，但出書以來，我收到一些數學家的正面回饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。台大蔡宜洵教授更細心的讀完終卷，寫下深刻感人的書評，發表在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。

另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指出篇一第4章「曲面論基本定理」的證明，有個gap，並做了補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上卷書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。

2、
初版時，我在引言中談到1978年我出版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適合大學部初讀者的水準。許多這一代台灣的數學家，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次向我提起小書對他們大學時代的影響。

今年初，在新迪出版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂出版。

目前《大域微分幾何》這三卷書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。

但大書上卷的前篇章A〈大域曲面論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。

中研院鄭日新、台大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發表會/暨cmc曲面研討會」；同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。

我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫了一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新出版的小書中。

3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩卷除了修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下卷亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。

這章主題是處理cmc曲面（hypersurface）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散出現的分佈情狀。

我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是困難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)才能伸向大域，使其樣態多變。

但這樣一來，問題便艱鉅得多，而且論證也變得深刻。穿越困難，像走入曲折迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決了問題，得到完整的結果。

這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。

試閱文字

導讀 : 中卷前言
中卷的主題是活動標架法。含三篇
篇四　張量的微積分
篇五　Riemann幾何的結構
篇六　活動標架法與大域幾何
共九章，即Ch.13-21。

微分幾何處理的對象是彎曲的空間。上卷已經建立了彎曲空間的基本概念，例如向量場的共變微分與曲率張量，並藉由彎曲空間中測地線的變分來探測彎曲空間大域的幾何性質，例如對正、負曲率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。

本書中卷先介紹張量的微積分，我們從平均的視角出發，引入均曲率、divergence、與Laplacian，使這些概念具有幾何的直觀，而不只做抽象的定義。活動標架法(moving frames)是處理彎曲空間簡潔而有效的方法，也是中卷的主題。

活動標架法的基本概念是微分式(differential form)。在本書上卷前篇的章B中，我們已經鋪陳ℝn中的微分式，並看到它如何被運用、被拿來有效而漂亮的計算出n度球ℝ、Clifford環面、與Lorentz雙曲面ℍn的Gauss曲率（高維時稱為截曲率）。這是截曲率為常數，而且分別為正、零與負值的三種典型。

微分式是一階世界的概念，不屬於零階世界，亦即：在一個點的微分式，必須把那個點附近的無窮小範圍，放大無窮多倍，這時我們才看得到微分式。例如微分式ω在一塊面域D上的積分，如果用這樣的方式了解，便一目瞭然：原來微分式可以從積分符號中剝落出來，成為一個獨立的概念[篇四，參見Ch.15,§7]。把無窮小世界的微分式，在一塊面域D上的無窮多點「累加」，就得到ω在D上的積分值。微分式ω本身，例如：ω=dxdy是一個獨立游走的概念。這涵意是深遠的。

當然，向量場本身也是一階產物，但因它與零階世界放在一起，直觀上還一目瞭然，所以問題不大。但微分式放到高階世界來了解，相對容易養成直觀，尤其取了外微分之後。

古典的張量分析(tensor analysis)與向量場的共變微分，是處理彎曲空間的一種直接而廣泛沿用的方法，它們容易懂，但不好算。微分式則反過來，不好懂，但容易算，算起來尤其簡潔有效。而且一旦掌握，更可以用來分析彎曲空間(亦即Riemann流形)的幾何結構[篇五]：從建立結構方程開始，清楚的洞悉Riemann流形的局部性質。這件事在上卷曲面論基本定理[Ch.4, §2]中，討論高維超曲面的存在與唯一的時候，已經鋪陳了伏筆。到中卷篇五，藉由Ch.16子流形的結構方程、Ch.18活動標架法的運算基礎、與commutation formula這三樣重要題材，我們進一步把彎曲空間的局部幾何徹底釐清。從這裡借助invariance，躍入大域世界：1943年陳省身漂亮的運用moving frames，給予高維Gauss-Bonnet定理一個內在證明，開啟了大域幾何的紀元。這是篇六的第19章。

就這樣，我們走進篇六，討論活動標架法在大域幾何的重要應用。我們引入Bochner著名的的技法，證明幾個經典的大域定理，如Lishnerowicz、Bochner、Hopf-Alexandrov、Minkowski、Reilly等人的貢獻。

最後一節[Ch.21, §2]我們特別提到Obata定理，其中一個原因是Obata讓我們又細細回顧古典曲面論與測地線變分的技法，把它拿來處理某類Riemann流形M在Laplacian特徵值λ1取得最小的狀態（即敲音最低沉時）。證明此時Riemann流形M必定是最勻稱的n度球，這是球面一個深刻的特徵定理。

最佳賣點

最佳賣點 : 中卷「活動標架法」先介紹「張量的微積分」，從「平均」的視角出發，導入均曲率、Diverence與Laplacian等相關的幾何概念，刻劃結構方程的意涵。然後藉由微分式(differential form)的運算，發展「活動標架法」，有效處理彎曲空間的大域問題。

活動

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