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文化脈絡中的數學

內容簡介

內容簡介 數學是一種語言，一種非常精準的語言，人們使用數學語言與自然對話、與藝術對話、與文學對話、與生活對話、與文化對話、與教育對話、與文明進展對話、與民主對話、與愛情對話。《文化脈絡中的數學》將引領我們，聆聽數學與各種領域的對話，層層疊疊、抑揚頓挫、從天上來、打心底起，讓數學融通了生命與生活，從而讓讀者有了屬於自己的數學聲音。 數學不僅是文化的產出，數學也形塑了文化。本書所涉及的文化領域，包括語言、文學、歷史、藝術、電腦、選舉、教育、宗教與信仰等，作者企圖以說故事的方式，一層一層慢慢展開論述：以文藝創作旁敲數學、用郵票來述說數學的大歷史、藉由人物傳記讓世界的數學發展史跟我們自己拉上更親近的關連，並針對切身熟悉的文化活動來闡述數學的角色，從而讓讀者體認到數學學習的真正價值及趣味。

作者介紹

作者介紹 單維彰單維彰民國51年出生於臺北市，自民國80年起任教於國立中央大學。主要工作在於數學教育，其對象包括學士、碩士、博士階段的數學專業教育，國中、高中階段的數學素養教育，中等學校數學領域的師資培育，以及面對社會大眾的通識教育。這本書產出於作者在中央大學開設的同名通識課程：「文化脈絡中的數學」，而這一門課使他獲頒教育部第七屆（104學年度）全國傑出通識教育教師獎。他是臺灣數學教育學會、臺灣工業與應用數學會的終身會員，也是中華民國駱駝登山會與中華民國山岳協會的終身會員，在50歲生日時完登臺灣百岳。

產品目錄

產品目錄 〈推薦序〉 數學的文化脈絡 洪萬生 靈魂的數學 林從一 從文化脈絡看數學的真善美 劉柏宏 前言 1 數學作為一種語言 ♦ 數學是一種語言 ♦ 語言都是抽象的 ♦ 語言都有任意性 ♦ 語言都須訴諸直覺 ♦ 語言都有不可考的成分 ♦ 語言都編撰成辭典 ♦ 語言都須記憶 ♦ 語言都會被操弄 ♦ 數學的歷時長存 ♦ 結語 2 艾雪的心靈版畫 ♦ 不可能的圖像 ♦ 球面的摹寫 ♦ 平面拼貼 ♦ 連續漸變與循環 ♦ 尺度的循環與漸變 ♦ 無窮 ♦ 數學結構 ♦ 版畫的工藝、心靈與美 ♦ 真實性 ♦ 結語 3 卡洛的遊戲人生 ♦ 第一代攝影師 ♦ 滿紙荒唐言 ♦ 趙元任的翻譯 ♦ 追隨經典的再創造 ♦ 遊戲數學 ♦ 文字遊戲 ♦ 注釋愛麗絲 ♦ 每個月寫一篇文章的職業 ♦ 結語 4 看郵票說數學大歷史（上） ♦ 數學的起源 ♦ 中國 ♦ 古希臘 ♦ 阿拉伯繼往開來 ♦ 東風西漸 5 看郵票說數學大歷史（下） ♦ 歐洲的甦醒 ♦ 中國的第一次接觸 ♦ 西方正式崛起 ♦ 輝煌澎湃一百五十年 ♦ 精密分工下的現代數學 ♦ 結語 6 徐光啟與數學的最初教材 ♦ 徐光啟 ♦ 中國原生的數學 ♦ 利瑪竇 ♦ Euclidis Elementorum ♦ 幾何原本 ♦ 孰能無過 ♦ 結語 7 數、計算與文明 ♦ 語言內建基本的計算 ♦ 數詞與數字系統 ♦ 計算工具 ♦ 圓周率 ♦ 自動機械計算機 ♦ 微積分 ♦ 可變程式的機械計算機 ♦ 科學計算 ♦ 可儲存程式的電子計算機 ♦ 結語 8 投票──民主的技術與意義 ♦ 民主程序的形上程序 ♦ 同樂會二籌 ♦ 選舉程序 ♦ 鞏多瑟和波達 ♦ 雅樂不可能定理 ♦ 薩伊的修訂理論 ♦ 得獎的是…… ♦ 結語：民主不是應許 9 PISA與西方的數學教育觀 ♦ 所謂素養 ♦ 職能與掃盲 ♦ PISA評量 ♦ 素養導向評量的範例 ♦ 啟示一：考試時間不宜太短 ♦ 啟示二：超大標準差的警訊 ♦ 啟示三：教育機會的不公平現象 ♦ 結語：才能天賦vs人定勝天 10 一部小說──博士熱愛的算式 ♦ 引進數學情節的虛構故事 ♦ 記憶著愛情的等式 ♦ 所謂最美的等式♦ 懂了更美 ♦ 結語 後記 結語：數學真的是一種語言 蔡孟利 圖片說明

商品規格

最佳賣點

最佳賣點 : 本書將引領我們，聆聽數學與各種領域的對話，層層疊疊、抑揚頓挫、從天上來、打心底起，讓數學融通了生命與生活，從而讓讀者有了屬於自己的數學聲音。

試閱文字

推薦序 : 靈魂的數學
林從一  國立成功大學副校長
 
本書的主旨就是書名。單維彰老師的《文化脈絡中的數學》並非科普而是數學通識，科普是普及專門知識，而通識關心知識的融通，以及知識對於我們的生命與生活所產生的意義。
單老師認為，數學是一種語言，一種非常精準的語言，人們使用數學語言與自然對話、與藝術對話、與文學對話、與生活對話、與文化對話、與教育對話、與文明進展對話、與民主對話、與愛情對話。單老師領著我們，聆聽數學與各種領域的對話，層層疊疊、抑揚頓挫、從天上來、從心裡起，讓數學融通了生命與生活，從而讓讀者有了屬於自己的數學聲音。
本書碰觸到心靈，但未及深談。讓我以本書的主調述說靈魂的數學，續貂為之序。
數學如何描述靈魂？這裡靈魂指的是「有格有調的心靈」。
靈魂中住著艾雪（M. C. Escher）《極限圓盤四》裡的天使與代表邪惡的蝙蝠，而住在靈魂中央的天使與蝙蝠最大隻，越往邊緣天使與蝙蝠越小隻，但數量越來越多，在最邊緣處已看不清楚有多少隻，雖然我知道有無窮多隻。靈魂邊緣幽暗不明之處，住著無數的邪惡，想想真讓人絕望，讓人提心吊膽；但靈魂邊緣也住著無數的天使，想想，豈不讓人充滿希望。人總是會比你可以想像得到的壞，還來得壞，但是，所幸，人總是會比你可以想像得到的好，還來得好。
靈魂的最扭曲的變形模式是連續漸變，但是靈魂最令人驚喜的演化模式也是連續漸變。只需改變一點點，每次都改變一點點，放棄了、不改回頭，沒多久立體的都能變成平面的。但，每次只需改變一點點，堅持住、安頓了，沒多久平面的也能變成立體的。靈魂漸變最重要的是方向與堅持，初心決定了方向，剩下的就只需一點點堅持所產生的慣性與習慣。困難的是初心，以及該堅持的是哪一種初心。但是一旦懷疑初心，不知不覺中就會陷入立體與平面來來回回的無盡循環中。
在缺乏深度的靈魂中，背景與前景的相互鑲嵌，互作背景與前景，思緒與感覺不斷浮現與隱沒。
靈魂在潘洛斯階梯（Penrose stairs）走遠一點，就會同時遇到年老的自己和年少的自己，一個自己、三個靈魂相遇。這是錯覺，不可能發生。但是，錯覺發生了，不可能的也會發生。
無法證明自己的靈魂如何認證衍生的真理呢？沒有基礎的公設如何指控虛假的定理？當靈魂開始懷疑自己，開始尋找自我的基礎時，過去它相信的所有真理都將開始動搖。結論不應該是懷疑論，所明白的應該是：不是所有真理都需要進一步的證成，無須懷疑的就不需要理由來支持。
靈魂是N+1度空間體在N度空間的展開，重點是展開。
你的靈魂入口是隧道入口的那面黑，還是隧道盡頭的一圈光芒？進入靈魂的那些夜晚，是睡不著的夜晚（sleepless nights），還是捨不得睡的時刻（wakeful hours）？
曹操的靈魂有厚度，他認為，探究人生意義，最重要的是數學，而且越早學越好，否則追悔不及。曹丞相的〈短歌行〉：「對酒當歌，人生『幾何』，譬如朝露，去日苦多。」
徐光啟認為《幾何原本》是人人必備的基本素養，他說「學理者，怯其浮氣，練其精心。學事者，資其定法，發其巧思。故舉世無一人不當學。能精此書者，無一事不可精。好學此書者，無一書不可學。」心靈是萬物函數，但前提是心靈要精通數學。單維彰老師認為數學是一種語言，我認為語言是一種器官，所以數學是一種器官，學會一種數學就是獲得一種器官，讓你能感知到你先前無法感知到的世界。數學是一種語言，而語言讓原先隱蔽的世界開顯出來。
有人說最美的等式是歐拉等式（Euler’ s formula）：eπi+1=0，因為歐拉等式是如此的簡單，但又是如此的優美與神祕。歐拉等式的構成要素是數學中最基本的五種元素：e稱為歐拉數（Euler’ s number），它是自然對數的底；i是單位虛數，有虛的根本，它的平方是負1；1是算術的開始；0是哲學上最基礎的自然數，它是位值記數法不可或缺的佔位記號；π是圓周率。其中，π與e都是無理數，小數點之後會出現永無止境且絕不循環的數字。
歐拉等式的美，小川洋子說得最好：「永無止境底循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但是來自宇宙的π飄然地來到e的身旁，和害羞的i握著手。他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了一之後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化。一切都歸了零。」
我認為靈魂中最美的等式是1=0.999...（0.9的無限循環）。
絕大多數人會說，0.999...不會等於1，0後面的9無論有多少，就是到不了1，0.999...與1之間就是存在著差距。然而，這個許多人都有的直覺，卻是個錯誤的直覺。
假設1大於0.999...，1與0.999...之間存在著差距。假設0後面的9循環到小數點後第n位數停止，這n位數上的9與1之間差距無論有多小，都一定可以分成10等份，如此其中的9等份可以做為第n＋1位數的9，那麼0.999...就不能停在第n位數上，同理可證，它不能停在任何一位數上，因此我們不能假設1與0.999...之間存在著任何差距。換句話說，如果1與0.999...之間存在著任何差距，那麼你說的0.999...就不是真正的0.999...。如果你說的是真正的0.999...，它與1之間就不存在任何差距，0.999...必等於1。
0.999...看似不足1，但是它小數點之後的永不止息的9使得它必須是1，它是實實在在的百分之一百。
0.999...看似永久追尋著1，但是正是這永久不懈的追尋，讓它倆合一。不過，雖然0.999...原本與1就是一體的，但是，0.999...還是要讓自己永不止歇地追求1。所有靈魂真誠的追求都是0.999...=1。

 
從文化脈絡看數學的真善美
劉柏宏  國立勤益科技大學教授、臺灣數學史教育學會副理事長
 
談到數學之美，最常被引用的詮釋大概是英國數理邏輯學家羅素（Bertrand Russell）所說：
 
數學，如果正確地看待，不但擁有真理， 而且也具有至高無尚的美，正如雕塑，是一種冷峻而嚴肅的美。不必迎合我們脆弱的本性，無需如繪畫或音樂華麗的裝飾，是一種極致的純淨，只有最偉大的藝術才能展現的一種苛刻的完美。
 
對於懼怕或者厭惡數學的人而言，羅素這段話無非火上加油，令人卻步再三。匈牙利數學家艾迪胥（Paul Erdös）對數學之美則持「不可說」的態度，只能意會無法言傳。「美」本來就沒有一定的標準，以古希臘三哲為例，蘇格拉底認為美不是絕對的，它依事物的用途而定，同一事物可以同時是美也是醜的。柏拉圖認為美存在於秩序、度量、比例、一致與和諧之中。亞里斯多德則主張美須考慮質料、形式、動力、目的。依此來看，在蘇格拉底和亞里斯多德眼中，數學本質上可能美醜兼具，只有柏拉圖始終相信數學的真與善而成就它的美。
本書不特別著墨於數學的真、善、美（或許是有意避談），取而代之主張「數學是一種語言」。語言是一種文化上因人、因事、因時、因地、因物而形塑的成品，難免具有模糊與抽象的本質，有時甚至必須訴諸直覺去理解不可究考的成分。既然是一種語言，就沒有所謂真、善、美的判準，自然也就不是本書的目的。只是，當讀畢本書初稿，闔上略為疲憊雙眼的那一霎那，一幅「真、善、美」的意象突然浮上眼簾。驚覺這彷彿是作者的精心布局，在第一篇先鬆懈讀者的心防，降低預期心理。殊不知在最後一篇佈了樁，描述小說中良善的女管家如何試圖理解與詮釋她的數學家主人所鍾愛最美麗數學公式的祕密，再配合作者循序漸進的推演解說，不知不覺令人感受到在一篇淡淡的傷愁故事中，數學所扮演的真、善、美。
當接獲寫序的邀約時，心中事實上是惶恐的。維彰兄雖約莫與我同庚，無論是在數理或人文方面，其才情高我甚多，何德何能為本書寫序？但是又想到若沒能在這本未來肯定暢銷的書上參一腳，將遺憾終身，也就快快答應，免得他反悔。只是該如何界定《文化脈絡中的數學》這本書？是一本數學敘事的書？一本數學普及讀物？抑或數學通識書籍？前言中維彰兄認為三者兼具，但我猜他心中真正想的應該是「不器」。如同他在獲選教育部第七屆全國傑出通識教師的致詞中表示，專業教育是教人「成器」，通識教育則重在「不器」，他應該不希望這本書的定位被限制，以免讀者群的對象也被制約。
「文化脈絡中的數學」原是維彰兄多年來在國立中央大學開設的通識課課名，以數學人強調簡潔的個性，為何不取「文化中的數學」豈不乾脆？其實本書的重點在「脈絡」二字，細心讀者不難發現作者很重視「時空的聯結」。提到劉徽，作者指明他是山東人（不知為何，腦海瞬間出現一種違和感），大約出生在曹丕篡漢之後，又歷經司馬炎篡魏的政治事件。這一下子，《三國演義》的畫面豐富了我們對當時數學發展的想像；講到畢達哥拉斯，書中又提醒畢氏與釋迦摩尼和孔子幾乎是同代人，讓人不得不串連起歷史舞台的三位哲人；原來明朝崇禎皇帝自縊時，牛頓才剛滿周歲；說到高斯於1799年答辯的博士論文，書中又偷偷告訴你，那年乾隆駕崩，拿破崙開始執政，美國開國元首喬治．華盛頓逝世；就在德國數學家希爾伯特1900年的世紀演講之前49天，德國駐華公使被槍殺，引發後續的八國聯軍攻入北京（恍然悟到，歐美數學即將振翅高飛時，當時中國卻正遍地烽火）⋯⋯。是什麼樣的動機，書中要交代這些看似與數學不相關的人、事、時、地、物？因為這才是文化脈絡。數學本身是文化的一部分，要了解數學不能只看數學事件本身的發展，而是要看整個文化脈絡縱橫交織的連結。前述事件脈絡雖不是全書重點，但卻是最獨特之處。
維彰兄雖是數學專業，卻蘊懷一顆詩人的心。讓我們來欣賞書中如何形容艾雪的版畫。《變形II》是艾雪一幅長達4公尺的作品，維彰兄是這麼說的：
 
從左側儉樸的文字格線出發，想像著低沉的四二拍子背景音樂，隨著正方形棋盤格經過一段變奏之後，序曲轉變為四三拍子的第一樂章，蜥蜴從地裡爬了出來，蜜蜂也從蜂巢裡飛了出來。萬物滋長，生生不息，歡愉的樂音帶著我們來到南義地中海邊的一座小鎮，音色逐漸黯淡下來，伊斯蘭形式的防禦堡壘跨入海中，變成了西洋棋盤上的城堡。序曲的旋律再度浮現，燈光漸暗，標題文字變成了謝幕文字。
 
好一幅風景充滿著漂流的音符。另一幅《水坑》，書中活靈活現想像描述了畫家作畫當下的情景：
 
一個下午，藝術家到村裡沽酒。正好下了一場雷陣雨，就乾脆坐在酒肆裡喝一杯。雨停之後，提著酒壺搖搖晃晃地沿著泥濘小路回家。濕涼香甜的空氣鑽進鼻孔，針葉上新沾的水珠點滴滑落，一位鄉民迎面而來打了招呼，零星幾輛腳踏車碾著軟泥擦身而過。艾雪看著地上的水潭、鞋印和胎痕，潭水把頭頂上的松針捕捉下來，還順手偷摘了剛昇起的滿月。多麼令人嚮往的生活中的一個尋常的午後。
 
多美的文字，讓這幅版畫瞬間動了起來。
落筆至此，還是想著，究竟要如何界定這本書？與其說《文化脈絡中的數學》是一本數學敘事書，科普書，抑或是通識書，毋寧說這是維彰兄近三十年來數學學思歷程的筆記書，書中文字處處顯現人文關懷和濃濃的個人風格。相信這本書的發行只是個開端，不出十年，我們就可以再次領略到維彰兄如何帶領我們欣賞數學，從行天宮直上外太空。

試閱文字

內文 : 追隨經典的再創造
所謂經典都是後見之明。一部作品必須啟發後世的想像，使其本身一再被改編或重現，形成文化的資產，才得以成為「經典」。就好像《三國演義》和《射雕英雄傳》裡面的人物與情節，在影視和電玩裡一再被重新塑造那樣。
我們必須先擱置自己的後見之明，才能洞察經典中的偉大創意。譬如卡洛所在的1860年代，沒有人看過將動物擬人化或者擬物化的卡通，也沒有人看過淡入淡出的影像效果，他就憑想像力創造了這些視覺效果。例如《漫遊奇境》第六章用魚和青蛙創造「眼睛長在頭頂上」的僕役形象，後來藉由愛麗絲抱怨柴郡貓「你不要突然出現又突然消失好不好？」的情境，想像了一場「慢慢消失」的影像淡出效果：這一次牠慢慢地從尾巴尖端開始消失，最後是牠那永遠咧齒微笑的嘴，而且那笑嘴還留在樹上頗長一段時間。看到這個視覺效果，愛麗絲自言自語，原文用了顛倒對仗：唉呀，我經常見到沒笑的貓（a cat without a grin），至於沒貓的笑（a grin without a cat）倒還真沒見過。而皇宮裡的撲克牌園丁與士兵，槌球場上當作棒槌的紅鶴與當作滾球的刺蝟，也都在在是文字版本的卡通影片。
人說文化就是資產。這句話對許多身在臺灣的人們來說，總是過於抽象的一個口號。卡洛的愛麗絲和許多其他歐洲人在前兩個世紀的童話創作（綠野仙蹤、睡美人、木偶奇遇記……），哪一部不是直接地創造了二十世紀的大螢幕票房？這些都是淺而明顯的例子。只要我們看電影、讀小說的時候多留意些，就會一再發現西方人世代相傳的經典、神話和傳說，如何豐富了他們的商業創作。我們當然也有《三國演義》、《西遊記》、《白蛇傳》和《女媧補天》，但是這些經典似乎還沒有滋養出足夠深度的媒體產品，更可怕的是這些經典本身正在遠離我們的下一代；一旦流失了，它們就不再是文化，也不能創造資產。試想，如果閱聽大眾都不知道孟江女的典故，那個含了一粒就哭倒長城的喉糖廣告，還能有效果嗎？所以，保存住文化中的經典，其實等於保護未來的一筆資產啊。
說到經典對於現代影視商品的貢獻，我舉兩個關於愛麗絲的例子。《駭客任務》第一集的開始，就連續引用《漫遊奇境》。女主角崔妮蒂不是在電腦螢幕上暗示男主角尼歐，叫他「跟著兔子走」嗎？他跟著左肩上刺著兔子圖案的女人到了酒吧，開始跟「母體」以外的人接觸，幾經波折，他見到那位黑人老大莫斐斯。黑人拿出兩粒藥丸，那時候說的話全部引述自《漫遊奇境》的原文，可惜在電影院或看DVD的中文字幕，都沒有翻譯出來，必須自己聽電影的對白。莫斐斯比喻吃了紅色藥丸，你就會跟著兔子掉進洞裡，不同的只是，這一次你進入的不是奇幻世界（wonderland），而是真實世界（real world）。
《駭客任務》更有深度的引用愛麗絲，是《鏡中奇緣》一場關於存在性的對話。一對小胖子說愛麗絲和他們自己都不是真正的存在，大家都只是紅國王夢中的角色罷了；只要紅國王一覺醒來，他們就「噗」地消失了。愛麗絲說不過那對雙胞胎，急得哭了起來。小胖子輕蔑地說：「妳該不會以為妳正在流落的，是真的眼淚吧？」同樣的句型也從莫斐斯的嘴裡說出來。那時候他在虛擬電腦世界裡面訓練尼歐，教他武術，那是很精彩的一段戲。尼歐累得半跪在地上喘氣，莫斐斯酷酷地說：你想想，我們只不過是在電腦模擬程式裡面，「你該不會以為你正在喘息的，是真的空氣吧？」
帽匠是除了愛麗絲以外唯一橫跨兩本故事書的角色，在《鏡中奇緣》為了一樁他「還沒有」犯下的罪行而身繫囹圄。故事裡的白王后有先知能力，她在刺傷手之前先大叫了，等到真正刺傷流血的時候反而不哼一聲， 因為「我剛才已經叫過了，難道還要再重複一遍嗎？」白王后預知帽匠在三週後會犯罪，所以先將他抓起來，而下週就要審判。愛麗絲問：「如果他根本沒有犯罪呢？」王后說：「那不是更好嗎？」這情節就是電影《關鍵報告》的創意來源。
蛋頭蛋腦（Humpty Dumpty）是一支英國童謠的主角，卡洛和他的插畫夥伴賦予他一個具體形象，而這個形象也進入了英美流行文化，常有機會在雕塑和動漫裡看到。《鏡中奇緣》利用這個角色大玩「語言任意性」的遊戲。愛麗絲遇見他時，他搖搖晃晃地坐在牆頭（這是童謠的情節），兩人講不到幾句就開始鬥嘴，蛋頭認為自己辯贏了，就說：「這妳就榮耀了吧。」愛麗絲說她不懂他講的榮耀是什麼意思。蛋頭冷笑一聲，說：「妳當然不懂，得等我告訴妳。那叫『被人一句話嗆垮了』。」愛麗絲當然不服，她說「榮耀」沒那個意思。蛋頭說，妳得搞清楚是誰在當家作主？「當我用一個字，它就得照我的意思去當它的意思，不能多也不能少。」
 
遊戲數學
卡洛發明了一些小把戲，有些傳到了今天。例如讀者大概聽說過一個益智問題：某位鄉民帶著一匹狼、一頭羊和一簍高麗菜渡河，他一次只能帶一樣東西，因此當他在撐船過河的時候，必有兩樣東西要留在岸上。但是不能將狼和羊留下，因為狼會吃羊；不能將羊和高麗菜留下，因為羊會吃高麗菜。請問要如何渡河？這是卡洛發明的。
利用邏輯上的謬誤，可以發展詭論。以下詭論適合初學代數的國中生測試一下自己的觀念：令x=1且y=1，則2(x2−y2)=0而且5(x−y)=0。所以2(x2−y2)=5(x−y)。現在把等式兩邊的x−y約掉，得到2(x+y)=5。但是x+y=2，故得2×2=5。這是怎麼回事啊？
以下這個機率的詭論就不太容易了。他說，如果一個袋子裡有兩個用觸感無法分辨的球，已知每個都是黑色或白色的，則它們必定是一黑一白，「證明」如下。
 
袋子裡的兩個球，二黑的機率是1/4，二白的機率也是1/4，一黑一白的機率是1/2。假設現在投入一個黑球，則三黑的機率是1/4、一黑二白的機率也是1/4、二黑一白的機率是1/2。現在，從這裝有三個球的袋子中抽出一球，它是黑色的機率為（「三黑且抽出一黑」或「一黑二白且抽出一黑」或「二黑一白且抽出一黑」）的機率。
反過來，如果從一個裝有三個黑球或白球的袋子中抽取一個黑球的機率是2/3，那麼袋子中必定有兩個黑球和一個白球。我們知道剛才投入的是一個黑球，所以，還沒投入黑球之前的那兩個球，必定是一黑一白。故得證。
 
以上詭論出現在1893年出版的《枕頭問題集》。初版的副標題是「用在睡不著的夜晚」（sleepless nights），再版時改成正面的說法：「用在值得清醒的時刻」（wakeful hours）。說的同樣是失眠，態度卻不同，這似乎與「屢戰屢敗」改成「屢敗屢戰」有異曲同工之妙。以上詭論是《枕頭問題集》的最後一題！或許他要開玩笑，熬夜太多終究有害健康，連腦袋都糊塗了。
數學家的確有反向應用機率的作法，設法模擬一種隨機實驗取得機率的估計，用來反推未知的狀況。如果從一個裝有三顆球（每顆都是黑色或白色）的袋子中隨機抽取一球，取出放回重複很多次之後，發現抽到黑球的機率是2/3，則真的可以推論袋子裡是二黑一白。問題是卡洛設計的第一個實驗已經丟了一顆黑球進去，那就不是一個「隨機」的事件了，所以並不適用於機率定理。
類似的情況也發生在頗有名氣的蒙特霍爾問題（Monty Hall Problem），那是一個綜藝節目的把戲。有三扇門，已知其中兩扇後面是山羊，一扇後面是轎車。如果來賓選中了轎車的門，就可以贏得那輛車；主持人知道轎車在哪一扇門後。遊戲規則是，來賓先選一扇門，主持人打開另外兩扇門之中有山羊的那一扇，然後問來賓要不要換？這時候主持人會創造出許多娛樂效果。如果引用學校裡的機率定理，就該相信換不換都一樣，都有1/3的機率選中轎車。但是，這個想法錯了。關鍵在於主持人不是「隨機」打開一扇門，他是知道答案的，他故意打開一扇沒有轎車的門。主持人的行為並不是一個「隨機」的事件，機率定理從此失效了。
我有責任說完這個話題。如果蒙特霍爾主持人也是不知情地隨便打開一個門，而他選中了一頭羊，那麼根據機率定理，來賓換或不換門，得獎的機率都一樣。如果把討論的時間點設定在大家都還沒選的當初，則來賓換或不換，得獎機率都是1/3。如果把時間設定在主持人隨機打開一扇門而且看到是羊之後，則來賓換或不換，得獎機率都是1/2。但是，在蒙特霍爾的遊戲規則之下，來賓若不換，則維持他原來的1/3得獎機率。可是，如果他換，則若他原來選錯了（機率是2/3）就會變成得獎；若他原來選對了（機率是1/3）就會變成羊。可見「不換」的得獎機率是1/3，而「換」的得獎機率是2/3，理性的選擇應該要「換」。
討論隨機實驗的時間點，的確是有差別的。數學老師能夠證明：抽籤的順序不影響得獎機率。但這個定理是針對大家都還沒抽的時候說的。譬如全班30位同學抽30支籤，其中只有一支得獎，為了維護秩序總得有人先抽有人後抽。萬一第一位抽籤者打開一看就得獎，顯然這個遊戲就可以結束了。在這種「條件機率」的情境下，我們實在難以說服同學們不要在意抽籤的順序。對付這種心理上的窘境，只要規定按順序抽籤（最後一位同學雖然沒選擇，但也「抽」了），抽了之後一律不許打開，把籤捏在手中求天主拜媽祖都可以，必須等到老師一聲令下全班一起開，就能感受「抽籤順序不影響得獎機率」的數學定理了。

活動

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