數學想想: 四年級 上 1-3 (附指引 3冊合售) | 誠品線上

數學想想: 四年級 上 1-3 (附指引 3冊合售)

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內文 : 升上四年級了，我們就做了一些調整。首先是把每學期五冊改為三冊，但每冊的頁數增加一些；這當然是因為力氣比較大了，可以拿一本比較厚的書。但比較厚的書應該多分幾個段落來讀，所以一冊裡面的各課都變得比較短；沒辦法變短的，就分成兩課。

另外的變化，就是文字的比重變得大了一點，而且，把注音符號取消了；至於圖呢？則從之前比較重故事性的人物具象呈現，變得更依賴象徵的手法。後者大概是要很細心的讀者，又做過詳細的對比才能發現。

以上，都說的外在的樣子，更重要的當然還是躲在裡面需要想想的那些東西。「北方是一個方向，但不是一個特定的地方」（第ㄧ課p.8 ），和年級的時候說的「重量是存在的証據」比起來，雖然兩者都是「怪話」，但前者的內涵當然要豐富得多。盒子裡有或沒有東西 (存在與否) ，只要掂掂重量就可以知道，這是很明白的事情；但是，要明白方向和位置的差別，卻需要更高的心智能力。

大家都抬頭看天，這時候所有的視線的方向都是一致往上的；如果改成大家都看樹稍上的某個位置，視線既然交匯與此，那就表示各個視線的方向並不相同。關鍵當然就在這「方向」二字，到底方向是什麼意思呢？當徐志摩在「偶然」裡說「你有你的，我有我的方向，…」，他以為這就是分手的理由，但我懷疑他是否想過，如果方向自始就保持相同的話，卻根本沒有相遇的機會呢!

這樣一路說下去，不是論文，就是要談禪了，所以，且回到正題來。如果一時說不清方向是什麼，那就先從能說得清的情況開始：當兩人在同一直線上走動的時候，他們的方向要不是相同，要不就相反，這似乎是理所當然的。在此我們訴諸「同向」和「反向」這兩個生活詞彙，並把之後的思考建立在對它們的直觀理解上；也正在基於這個理由，要等小孩到了四年級才談方向的問題比較保險。

這兩個在同一直線上走動的人，如果能「一致或相同」地改變方向，那麼改變之後的兩個新方向，就應該也是相同的了；透過「相同的改變」，我們就把原先的「同方向」概念，擴展到另一個新的「同方向」去了。現在的問題是，如何「一致」地改變方向？從這兒很自然地就可以引入「轉動角」這個概念，例如兩人都從原先的方向，逆時針轉30度；因為所轉的角度是相同的，我們就相信轉後所面對的新方向，也是相同的；或者反過來說，既然原先的方向相同，轉動的角度又相同，那麼在這整個過程裡，就沒有其它可以想見的因素，可以使兩人轉後的各自的新方向有任何差異的可能。

以上對於方向的思考，有以下數項要點: 首先，是一個方法學的問題：人到底是怎麼得到一個概念，認識一個事物，理解一個語彙？其實，所謂認識，是指能夠分辦其異同，包括著這個事物和其它事物之異同，以及這個事物的各種類之間的異同。例如，認識「方向」，大意謂著能知道「某個特定的位置」不是方向，以及怎樣的情況是同方向，怎樣的情況是不同的方向；反之，如果能分辨以上這些異同，那也就是認識了「方向」這個概念了。

其次，辨別異同的時候，通常是先以已經能夠分辨的情況為基礎，再透過比較「改變」，來確定一個新的情況的異同；如果是相同的改變，所得的結果必然也相同，反之，不同的改變，一定帶來不同的新情況。

再者，經過以上「分辨異同」的過程，人自然而然地建立了一個概念之後，就可以不必計較原先想要建立的那個概念到底是什麼；例如，能夠分辨方向的異同，以及分辨什麼是方向，而什麼不是，再追問「方向到底是什麼」是沒有什麼意思了。

現在，大家有沒有覺得「水漲船高」呢？小孩升上四年級，給爸媽和老師的話，也就跟著升級了! 至於這一冊裡還有其它許多的「要義」，例如「一個方向的平行移動」，又如「除法的多層次求商」（第三課p.39），以及它們所涉及的深刻意函等等，就請大家再參考親子手冊了。

升上四年級了，我們就做了一些調整。首先是把每學期五冊改為三冊，但每冊的頁數增加一些；這當然是因為力氣比較大了，可以拿一本比較厚的書。但比較厚的書應該多分幾個段落來讀，所以一冊裡面的各課都變得比較短；沒辦法變短的，就分成兩課。

另外的變化，就是文字的比重變得大了一點，而且，把注音符號取消了；至於圖呢？則從之前比較重故事性的人物具象呈現，變得更依賴象徵的手法。後者大概是要很細心的讀者，又做過詳細的對比才能發現。

以上，都說的外在的樣子，更重要的當然還是躲在裡面需要想想的那些東西。「北方是一個方向，但不是一個特定的地方」（第ㄧ課p.8 ），和年級的時候說的「重量是存在的証據」比起來，雖然兩者都是「怪話」，但前者的內涵當然要豐富得多。盒子裡有或沒有東西 (存在與否) ，只要掂掂重量就可以知道，這是很明白的事情；但是，要明白方向和位置的差別，卻需要更高的心智能力。

大家都抬頭看天，這時候所有的視線的方向都是一致往上的；如果改成大家都看樹稍上的某個位置，視線既然交匯與此，那就表示各個視線的方向並不相同。關鍵當然就在這「方向」二字，到底方向是什麼意思呢？當徐志摩在「偶然」裡說「你有你的，我有我的方向，…」，他以為這就是分手的理由，但我懷疑他是否想過，如果方向自始就保持相同的話，卻根本沒有相遇的機會呢!

這樣一路說下去，不是論文，就是要談禪了，所以，且回到正題來。如果一時說不清方向是什麼，那就先從能說得清的情況開始：當兩人在同一直線上走動的時候，他們的方向要不是相同，要不就相反，這似乎是理所當然的。在此我們訴諸「同向」和「反向」這兩個生活詞彙，並把之後的思考建立在對它們的直觀理解上；也正在基於這個理由，要等小孩到了四年級才談方向的問題比較保險。

這兩個在同一直線上走動的人，如果能「一致或相同」地改變方向，那麼改變之後的兩個新方向，就應該也是相同的了；透過「相同的改變」，我們就把原先的「同方向」概念，擴展到另一個新的「同方向」去了。現在的問題是，如何「一致」地改變方向？從這兒很自然地就可以引入「轉動角」這個概念，例如兩人都從原先的方向，逆時針轉30度；因為所轉的角度是相同的，我們就相信轉後所面對的新方向，也是相同的；或者反過來說，既然原先的方向相同，轉動的角度又相同，那麼在這整個過程裡，就沒有其它可以想見的因素，可以使兩人轉後的各自的新方向有任何差異的可能。

以上對於方向的思考，有以下數項要點: 首先，是一個方法學的問題：人到底是怎麼得到一個概念，認識一個事物，理解一個語彙？其實，所謂認識，是指能夠分辦其異同，包括著這個事物和其它事物之異同，以及這個事物的各種類之間的異同。例如，認識「方向」，大意謂著能知道「某個特定的位置」不是方向，以及怎樣的情況是同方向，怎樣的情況是不同的方向；反之，如果能分辨以上這些異同，那也就是認識了「方向」這個概念了。

其次，辨別異同的時候，通常是先以已經能夠分辨的情況為基礎，再透過比較「改變」，來確定一個新的情況的異同；如果是相同的改變，所得的結果必然也相同，反之，不同的改變，一定帶來不同的新情況。

再者，經過以上「分辨異同」的過程，人自然而然地建立了一個概念之後，就可以不必計較原先想要建立的那個概念到底是什麼；例如，能夠分辨方向的異同，以及分辨什麼是方向，而什麼不是，再追問「方向到底是什麼」是沒有什麼意思了。

現在，大家有沒有覺得「水漲船高」呢？小孩升上四年級，給爸媽和老師的話，也就跟著升級了! 至於這一冊裡還有其它許多的「要義」，例如「一個方向的平行移動」，又如「除法的多層次求商」（第三課p.39），以及它們所涉及的深刻意函等等，就請大家再參考親子手冊了。

上一冊我們說過，「對四年級的人而言，（較大數字的）直式除法還是一個相當複雜的東西，所以應該先熟練這個方法的操作，再回頭來探究其原理」、「理解雖然永遠重於記憶，但記憶未必一定要後於理解才發生」；那意思也就是說，這一冊必須交代「直式除法的道理」，不能只是一昧地練習計算了。

雖然您已經是非常「願意講道理」的爸媽或老師，但我們禁不住偷偷猜測，在您的心裡，直式除法究竟有什麼道理可講？其實，我們一點都沒有要把容易的事情講難的意思，也絕不會為了講道理而講道理；只是，一個稍稍肯用點心思的小孩，很自然地就會想，當我們寫上第一位的商的時候，那個單純的個位商數，到底代表什麼意思？

例如，在計算256413÷24的時候，看到25（先忽略後面的6413），我們就知道第一次要商1，然而，這個1是代表1個什麼呢？熟悉「位值法」（即以數字所在的位置來決定它的值是個、十、百或千等）的人，稍稍數一數這個1在商中所佔的位置，應該可以確定它是代表「1萬」；但這事的理由何在？其中的道理又是如何呢？

其實，當我們估第一次的商而以25除以24的時候，是「有道理」的 （並非僅僅取超出24的前幾位）；那個道理就是，我們其實是先拿25萬 （這是25在256413中所代表的意義) 分給24人，至於其餘的6千4百多則等商第二次的時候再分。這麼一來，每個人先分到1萬，就是理所當然的了；而這也正是第一次商1的意義！

正是因為1是代表「1萬」，這個1才必須寫在25的5的上方，因為那正是代表「萬」的位子。這麼一來，我們就明白，1之所以代表1萬，並不是因為「老師規定」它必須寫在萬的位子上；恰恰相反，是因為它本來就代表1萬（25萬分給24人的結果），老師才做那樣的規定的。

在書上，這個「道理」是以這樣的銘言出現的：「對齊不是為了整齊，而是為了確定數字的意義」（p.13）、「商數的位置不能任意，不是為了對齊，而是要確定它的意義」（p.18）！

總而言之，做為人，「意義」（而不僅僅是實利）才是我們應該認真追求的；這不僅僅是泛指「追求人生的意義」，以免渾渾噩噩地過一輩子，同時也包括著在每個動作之中，例如寫下商的第一位，都願意追究自己是在做什麼。我曾聽過美國的學生批評他們的老師：He doesn't know what he is doing.當時印象非常深刻，頓時警覺到這才是對一個人最嚴厲的辱罵（別提那種涉及父母的字眼了）；但是細想之下，不免要懷疑，在這種不求甚解的教育之下，到底有誰是真的知道 he is doing 的是什麼？

所以，應該把小孩的教育改造成重視「想想」的這一種，而數學應該是其中最容易入手的領域；並不是因為數學最難，恰恰相反，是因為在各個「科目」之中數學反而是最容易的：所有的道理都那麼清楚，是非立判，黑白立現，不信的話，試著講講「民主」的道理看看？馬上就有人說太民主了也不好，是不？

一般人認為別的科目容易，是因為他們「不講道理」的原故：其它各科的標準都是只要背得出課本的內容，相形之下，數學就顯得難了，因為考數學的時候，從來不要學生默寫課文，反倒是出一個沒見過的題目來解；如果把這個方式挪到人文社會科目，每次都考一個實際要解決的問題，那恐怕連老師都要留級了。

說了這麼多，雖然聽起來振振有詞，言之有理；但我猜想，在您的心底仍然難免懷疑，凡事都要講道理，會不會因噎廢食，反倒失去了「算術」的本來目的（就是要會算）？然而，只要是有意義的道理（確實有那種沒什麼道理的「講道理」），都必然有重要的實用價值；就以我們現在所談論的這個例子來說，如果小孩能明確掌握住「商1」的意義，他就能不必傻傻地把長除法逐步做完，而在一開始的時候就「估出」答案：每個人大概分到1萬多呀！如果您也想體會一下這個本領的價值，那就試試這個問題：中小學老師所免去的稅金每年大概是一百多億，平均分攤給全國660多萬戶，大概每戶要負擔多少啊？

另外，這一冊中還有一個重大議題，就是三角形與「一筆畫星星」的內角和的問題，這當然有相當的難度：按一般的課程標準，前者是安排在八年級（即國二），後者大概從未列入教材；所以這是我們第一次教小孩這個內容，意思是說，同樣的問題以後還有很多次機會，但將從不同的角度切入，用不同的手法來探討：務必要在六年級以前，讓所有的想想小孩都能充分掌握這個人類歷史上最重要的幾何概念！

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