數學想想: 三年級 下1-5 (附指引 5冊合售) | 誠品線上

數學想想: 三年級 下1-5 (附指引 5冊合售)

內容簡介

內容簡介 規格：全套五冊，每冊各含彩繪讀本、親子互動指引■本書目錄第一冊點到線的距離怎麼減比較快三位減法(ㄧ)畫盒子_ X _ + _"

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試閱文字

內文 : 繼「做盒子」(見三上第4冊) 之後, 這一次, 我們教小孩「畫盒子」。

大家會想，畫盒子」不是美術課的事情嗎？但美術課通常並不在乎小孩畫得「像或不像」，而且以現在主流的思潮，「寫實」也早就排除在美學之外了。這當然沒什麼不對，然而，畫出一個「很像」的盒子，卻另有心智發展上的重大意義。

這話怎麼說呢？認知心理學的鼻祖皮亞傑，曾做過這樣的研究：用紙板做出假山的模型，並在山坡的各側安排適當的景物 (一座小房，或幾株大樹﹞，邀請小孩繞著這座假山從各個角度仔細觀察；之後，讓小孩站定一個位置，問他：如果有一個人從山的那邊看過來，他會看到什麼？例如，可以看到房子嗎？可以看到幾顆樹之類的。

問題的目的，是想要知道小孩到底能不能「從別人的觀點來看」。實驗的結果是，即使是八、九歲的孩子，答對率都很低：雖然小孩都記得剛才看過山的各個側面上有些什麼，但無法正確指出從不同的角度看去的話，分別都能看到什麼。

有一種顧慮是，也許小孩只是口語表達能力不夠，也許他不是不知道能看到什麼，只是說不太出來：所以後來又改成給小孩看假山各個側面的照片，讓他選哪張照片應該是從哪個角度看出來的，結果呢，小孩的表現仍然很不理想。

皮亞傑因而得出結論：「轉換觀點」是心智成熟的指標，當年齡不足的時候，兒童不能體會「別人的立場」，因而必然是「以自我為中心」的；這個現象不限於「實物的觀察」，也包括著與他人相處時的反應模式，例如不能體會他人的感受等等。

皮亞傑的這個發現，在心理學、哲學、以及教育等各方面，都有深遠的影響對父母和老師而言，最有意義的是，我們應該警覺不可以用大人的道德標準去要求小孩。當小孩顯得很「自私」的時候，我們應該了解，這是心智發展的必然過程。

不過，後來的研究者Martin Hughes 重新設計了假山的實驗，改成以厚紙板在桌子上做出不同隔間的牆壁，拿一個人偶放在圍牆的某一角落，說這是一個警察；再拿出另一個人偶，說這是小偷，問小孩：小偷站在哪裡才不會被警察看到 (被某堵牆擋住視線)？這麼一來，出人意料的，小孩的答對率就變得非常高，即使年齡很小的小孩也不例外。

這之間的差別到底是什麼呢？至少有一種解釋，是我們都可以想像的: 如果讓小孩「有一個情境」可以去想像，他的「本事」一下子就大起來了。如果容我們做一個比喻的話，一般的制式教學，就好像皮亞傑爺爺的假山，而「數學想想」則給小孩很多機會去「扮小偷躲警察」!

然而，這和「畫盒子」有什麼關係呢？讓我舉出下面的實例：一個三年級的小孩，在我的請求之下，畫一個滿好的盒子；之後，我拿出一個盒子，擺成一個和他畫的那個盒子不同的角度，請他對著這個盒子再畫一次。結果呢？無論我怎麼調整盒子的方位，他畫的仍然是原來那個樣子!

這就表示，雖然他能很好地畫一個盒子，但他只能畫心中那個既定的盒子的形象；改變角度以後，即使是面對著一個真的盒子「照著畫」，他也無法成功。看起來，在這個小孩面前，我已經變成一個爺爺了。

相對於「想像別人看到什麼」而言，「把自己看到的畫下來」應該更容易 (當然只限於像盒子那種線條簡單的對象 )；再進一步說，如果「把自己看到的畫下來」都有困難，「想像別人看到什麼」就更不可能了。這樣，您應該可以明白，教小孩畫盒子，並不是教他「畫圖的技巧」，而是設法提升他的心智能力!

那麼在「畫盒子」這一課 (本冊第四課) 裡，我們是否成功地讓小孩「扮小偷」 (在某一情境中學習) ？這就要請您和小孩一塊兒「數學想想」了。

最後，Albrecht D?rer一面透過玻璃框看準模特兒、同時把人像畫在玻璃板上的「歷史景頭」(第.. 頁 )，不但充分解釋了「透視」兩個字 (透過一個平面去看) ，而且為「畫盒子」這個主題提供了深刻的歷史感，讓您和小孩可以神遊於時空交織的網路之中，則尤其是不能錯過的!

我猜大家都有這種經驗：對方熱心地反覆解釋，自己總是抓不到要領；或者，他講的我都懂，但我不懂的他就是沒講。在這種情況下，通常我們會自責，自慚形穢，自認為反應太慢，頭腦太笨；然而，真正的問題往往是出在講者︰只從他的觀點下說詞，卻不明白我們的困惑所在。

所以，要教小孩一件事情，不能只教我們要教的，還要不斷地研究，在這整段的學習過程裡，他到底需要什麼協助，他可能有什麼誤會，他會有什麼問題。

例如「三位數相減」，小孩會「卡住」的地方，大概就是在例如「703－254」中，十位本來就是0，要怎麼「借1」給個位？（本冊第二課，p.25）充分去照顧這個疑惑，應該就可以打通「減法借位」的關節。這時候我們可以看出傳統「記1法」（在橫槓上記個1，代表被借去1）的價值，這是「先欠著再說」的意思，其實是將來　建立「負數概念」的一個基礎。

又例如「47×3」，理當十位數和個位數分別都乘3，再把二者加起來；這個道理不難理解，如果讓小孩分成兩層來寫（即將120和21都記錄下來），通常是沒有什麼問題的。但是，如果要求把21中的2先記在心裡，再和「三、四、十二」的結果相加，也就是利用心算來進位，恐怕就沒有那麼容易了。

於是我們設計了一個「圖式」（本冊第三課，p.37），將十位數乘3 （以上例來說）的「路線」用一個「帶著箭頭的曲線」畫出來，再在這條路線上記錄「+2」；所以當小孩看到這個圖式的時候，他就可以默唸：3乘4加2，然後，他就可以運用前冊中「 × + 」（三上第一冊第五課）的經驗了。

這個手法看起來「沒什麼」（相對於「想想」中其它的獨創），但其中自有深意焉：經過簡單的練習之後，小孩可以把以上的「圖式」放在「頭腦中的小黑板」上而順利完成計算，也就無須寫在紙上了。（47乘3是個無聊的計算，但「在頭腦裡建立小黑板」，卻是一個重要的心智能力；它的應用絕不只在心算，而是所有可能的「圖像思考」的基礎！）

以上的例子是容易明白的，因為小孩在計算時確實會發生那樣的困難；但是，有一些困難卻是「隱性的」，因為並不直接造成計算上的障礙，所以不易為人所察覺，除非是特別喜歡想想的小孩，小孩大概也不會主動提出，甚至並不覺得有什麼疑問。

一個例子是，為什麼1和0放在一起就是「十」？大部分的小孩不會問這個問題，因為早就被充分告知而習焉不察了；然而，這卻是理解「阿拉伯記數法」中「區分個位、十位、百位」的關鍵，也是掌握各種「直式算法」的最重要的心理基礎。

「數學想想」打從一開始（一年級上學期第四冊），就以各種手法，不斷指出「10中的1是代表數滿1雙手、0是代表數完沒有剩餘」，「不惜」舉出「對於只有3根指頭的外星人來說，10就是代表3」。繼續這個「傳統」，這次我們再度提出「1000的意思」（本冊第一課），讓小孩發現對於3根指頭的外星人來說，1000只不過是廿七！（p.14）

這是解決「隱性困難」的唯一方法：必須跳脫既有的架構，才能警覺其中隱藏著問題；當然，這也是拓展心智能力必經的過程：人必須不斷地設想不同的情境，才能對比出事物的根本道理。

另外一個例子是，很多人（這並不限於小孩）十分缺乏「量感」，但自己卻並無警覺：常常口頭掛著公升這個詞兒（加了幾「立　　liter」油），卻不能想像1公升到底有「多大」——喝過咳嗽藥水的人，大概知道10c.c.是多少，但1000c.c.就太難想像了。

其實從「自然發生」的角度切入 （這恰恰是傳統教材所缺乏的），量感的問題自然就能解決。所謂自然發生，是指1.基本單位是怎麼來的，以及，2.如何用基本單位累積成一定的大小。雖然公分過去就是公尺（很少人用公寸這個單位），但「立方公分（即c.c.）」的下個等級卻不宜是「立方公尺」，因為差了100的三次方（即百萬）倍，是差得太多了。所以，用10公分為邊長的立方體，就是很自然的一個中間單位；用手比一比，也會感覺到大小十分適中，這不就是1公升嗎？當然，1公升如何由1000c.c.累積而成，也就是長、寬、高相乘的那回事，就是另一個要點。（本冊第四課）

站在「不能只是單方面教，也要照顧小孩的困惑」這個立場上，我們還要問：把以上那些都學會了的小孩，還會問出什麼問題？——終於明白爸爸加了60公升是多少汽油之後，他難道不會懷疑，明明就是等於6萬c.c.，為什麼爸爸的車子只是「三千c.c.的」呢？這麼一來，透過針筒與鋁箔包（p.47，p.49）、油箱與汽缸（p.52）的對比，我們「想想小孩」對於體積的量感，應該是會強過許多成人了吧！

先來說個謎語：好心的酋長，許給從海上飄流而至的女王一塊牛皮，說：你可以用它覆蓋一塊土地，據為己有，做你安身立命的所在；如果您是她，除了苦笑之外，還能做什麼呢？

這位女王卻有自己的章程：她把牛皮切成細條，結成長繩，用那條長繩，沿著海岸，狠狠地圍了一大片地，建了一個城市，叫做迦太基；又以迦太基為中心，建立了王國，統治四週大範圍的領土。

這事發生在西元前八百多年，是一則美麗的傳奇（參見讀本P.26 及親子手冊）；這則傳奇留給後世的，卻不止是史詩—而還有數學：用一根長度一定的繩子，怎樣圍，才能圍出最大的面積？

這則數學，叫做「等週界問題」。說淺近，可以淺近到以直觀解決：在週界相等的各個圖形之中，圓形的面積最大；如果允許以某直線為一邊（例如前述的海岸），那麼繩子圍出的最大面積就是半圓。然而，如果引伸至高等數學，則可以和Dirichlet 問題中Laplace operator的特徵值和特徵函數扯上關係。

而我們決定要在這一冊中，讓我們的想想小孩體會並欣賞人類文明與文化的這塊瑰寶。往大處說，這當然是為了再一次地促成「愛智的生活」；往小處說，至少也是強化「課程綱要」要求要建立的面積概念。

面積，做為附加於幾何圖形的一個數量，有時候並不容易掌握；例如農人往往以「繞一週需時多久」來強調其擁有土地之大，這就是想用週界的長度去取代所圍住的面積。我們認為，教小孩面積概念最好的方法，就是拿它來和週長對比；而對比的最好的方法，則是考慮在週長一定的條件下，什麼圖形的面積最大，換言之，也就是「等週界問題」。

對這樣年齡的小孩談論這個問題，是一項挑戰；一般而言，在高中討論這個問題都有一點嫌早。首先，小孩必須設法「記住」週長不變這個先決條件；條件式（假設性）思考，向來是心智成熟的指標。另外，用數方格的方法去確認面積的大小，也並非日常生活中常有的經驗。更何況也不宜一成不變地去數方格，而至少要提出一種把面積變大的方法（當然是在週長一定的條件下），以便小孩體會這個問題的一般性。

以上這些考慮，構成了第二課的主要內容（詳見手冊的解說）；我在這裡寧可更強調米羅（1893-1983，西班牙畫家）的藍色系列作品對這一課的品味的影響：一切都隱約是發生在海底，而用來限定週界的「髮絲」，則是從「米」字（米羅常用的造型）頭上長出來的。為了強調這些髮絲的長度不變，我們就讓它做了許多表演（P.16）：

誰說只有一根頭髮，就不能有造型；

可以拉直，可以打折，也可以弄擰。

奇怪的是，不管怎樣，

長度都是一定；

不會變長，不會縮短，

也不會有分岔的事情！

不會有分岔的事情？聽起來有點像某種廣告詞；然而，這又有什麼關係？只要小孩唸起來覺得親切、順口，因而有助於理解後面要提出來的等週界問題，就行了。

其它的各課，當然也各有特色，以上只是揀大家可能比較不熟悉的題材來說明一下；準此而言，把小數點解釋為「寫完整數部分，筆在那兒暫停（為了數零頭的小格子）所留下的痕跡」，當然也是大家不曾聽過的，那麼我也就聲明一下：這個解釋，從小數點這個符號的歷史軌跡來看是否正確，並不重要；重要的是，小孩和那個打官司的秋菊（張藝謀執導的電影）一樣，凡事需要一個「說法」。不給「說法」，只給「命令與規定」的教育，教出來的，絕不是能夠想想的小孩！

至於一個小小的黑點，在不同的情境下，會有許多不同的意義，則是符號學的基本法則；「有一個代表輕聲，有一個代表驚嘆，有一個表示要加長前面音符的一半；還有一個是英文的句點，最後一個會落在哪裡，還要等等看！」，當我們這麼說的時候，就正是從年幼時開始，為小孩「解構」符號世界的迷思！

好了，我的筆也要在此暫停了；是否會留下一個黑點，當然絕不會是重點。重點是，您願意陪著小孩一塊兒，用這種完全不同的方式，重新再學一次數學嗎？

關於分數，除了「分成幾份，取其幾份」這種老詞兒之外，還有什麼可以說的呢？這是教學上的老問題：三言兩語就教完了，看似責任已了，但小孩還沒有能掌握那個概念；所以只好反覆再給予練習，但正是在這種了無新意、無聊透頂、沒完沒了的反覆練習之中，消磨了小孩終生對於數學的興趣！

正如上一冊我們用「等週界問題」來豐富「面積」的教學，這一回，我們提出「分子和分母都增加同一個量，分數會有什麼變化」的疑問，目的也是為了深化關於「分數」的教學。也就是說，不能只是反反覆覆強調2/3 的意義，這種強調通常沒有太大意義；而是拿它來和、比如說、3/4 比較，比較分子分母都增加同一數後，分數會變大還是變小？

然而，平白無故地拿2/3和3/4來比較，仍然顯得「矯情」；我們於是提供了一個情境：依據醫學的報告，30公斤的人（就是那個想想小孩啦），身上應該有20公斤的水；那麼，他如果再喝下10公斤的水，體重中的水現在所佔的比例（即3/4），會超過原先的2/3嗎？

這當然是個荒謬的問題，因為，沒有人能一下子喝進10公斤的水；但做為一個假設性的情境，卻可以引起關於分數的大小的思考，並且有一種感同身受的領會（想像自己身上突然多了那麼多水！）。那麼，如果是只喝1公斤的水呢？這時候的問題就是，1公斤的水到底是多少？所以這是一個好時機，我們可以趁機來運用公斤與公克的意義（本冊第一課） ：原來一般的500 c.c. 的大杯，恰好就是半公斤，因為1公斤恰恰就是1000c.c.，也就是1公升的水重。

喝下這麼1 公斤的水（當然還是有些吃力），那個小孩的體重就變成31公斤，而身上的水當然就變成21公斤，問題是，在這個情況下，水還是體重的2/3 （實際上當然是21/31） 嗎？這時候，我們讓小孩看到，水雖然不再是體重的2/3 了，但差別非常有限，因而醫學上所說的「體重的2/3 是水」，在正常的喝水，排尿（可以類推）的活動中，仍然大致是成立的。

順帶一提的是，這個想法，是來自於一個想想小孩，當聽說「人體有2/3 是水」的時候，他立即的反應是，就算真是這樣，我喝一些水進去，2/3 這個數字也就不成立了。一般人大概不會有這樣的反應，因為我們習慣於接受訊息，尤其當那個訊息覆蓋著專業的包裝的時候。立即提出一種質問，因而是一種可貴的能力。

而這個「喝水之後，水在體重中的比例」的問題，卻涉及對於分數的深層認識，也就是，當分母與分子，全體與部分都增加了相同的量，分數其實是會變大的。這是一個通則，但並不容易一眼看出，因而，針對這一通則提供一種立即領會的方法，就成為更深一層的智慧。在「三、1/2、2/3、3/4?」這一課的最後，我們當然也絕不放過這樣一個啟人心智、動人心弦、驚人耳目的機會，給我們的想想小孩（詳見p.39） ！

另外一個可以一提的話題是，許多人批評，在我們的數學教育之下，小孩（其實是包括許多長大後的成人）多半沒有「量感」；例如，不知道一公尺大概有多長，一公斤大概有多重，一公升大概有多大，等等。但批評者對於這個問題所提出的解決，卻僅僅是所謂「教學要生活化」，因而我們可以看到，幾乎所有版本的教材，教到「公斤」的時候，都是叫小孩去量體重，或是找一瓶一公斤的礦泉水來提提看；我們認為，這是膚淺的，真正的「量感」，並不是針對那個「量」去「感」一下而已，而是能夠把各種感官的訊息結合起來。

這是什麼意思呢？1cm（公分）是常常看得見的，用1cm就建立起了1c.c.（立方公分），這也容易想像；但是1000c.c.，也就是1公升，卻不容易有感覺，所以我們必須讓小孩「看見」這個邊長10cm的正立方體（第2冊第4課）。到此為止，是視覺的。至於重量呢？重量是一種看不見，聽不到，摸不著，聞不出來，嚐不出味道的「性質」，這時候，小孩不止是要能用手掂掂1 公斤有多重，更重要的是，他必須同時「看見」這個重量，就是1公升、也就是1000c.c.的水重！

這一系列的題材，都圍繞著「重量必須和體積做對比」這個核心思想；在這個核心思想之下，講述公斤的同時，理所當然的要講公克，因為後者與前者同，恰恰也是標準體積（1c.c.） 的水重！

至於「二、有餘數的除法」和「四、乘法表（複習）」的內容，也絕不像標題看起來的那麼無辜、不、我是說無趣；相反的，這兩課裡也絕對有傳統上難以想像的「教學創新」糾纏其中，至於到底如何創新，又如何糾纏，這當然就要讓您、親愛的爸媽或老師、陪著我們的想想小孩來欣賞囉！

這是三年級的最後一冊了，理當做一個總複習；但依照我們一貫的精神，即使是複習，也必須要有新意，所以除了「想想相簿」是名符其實的舊景再現之外，其它三課也是各有千秋的。

就挑「一、除以3 的餘數」來談一下吧。看這個標題，就知道我們是把焦點放在「餘數」上的。這和一般的教除法的教材不同，一般的看法是：重點只在分東西，實在分不盡的時候，當然難免有餘數；但在這條思路上，餘數是個可有可無的東西，最好是沒有（除盡了），實在免不掉的話，也不是關切的重點（重點是商）。

然而這不是一個「統觀全局」的看法。所謂統觀全局，是指：如果暫時將除數定為、例如、3，也就是3個3 個地來分某一個總數，那麼會發生什麼事情？當問題這樣提出來的時候，那個「總數」是開放的；換言之，我們喜歡比較各個不同的總數被3 除的結果。其實在之前第一次引入「除法有餘」的概念的時候（第四冊第二課），我們就是讓小孩觀看一條數線，和在數線上如何3個3個地「括」過去；從某種意義上來說，這已經是一種對全局的統觀，因為既然是在數線上，那麼每當解決一個特定被除數的問題，就自然會去看看前後其它那些被除數可能造成的結果。

簡單地說，以3為除數的時候，2、5、8…等等這些數的「身份」是一樣的，因為在以3 為間隔的連續的段落中，它們都落在第二個「位置」上。換言之，它們都是被3除餘2的傢伙。當然，另外那些1、4、7…等等，則形成另一種身份，因為它們都落在每個3的間隔的第一個「位置」上。不用說，除了前兩種身份之外，還剩下一種身份，就是：3的倍數！

總之，以3 為除數的時候，所有的整數就被分成了三種，分別是被3除餘0、餘1、以及餘2的—不能餘3，餘3就該被劃為餘0 的那一類。這種統觀全局的觀點，只是一種數學上的興趣呢？還是另有其它的意義？答案是：數學從來不對「沒有其它意義」的事情感興趣；和一般以為的相反，數學的興趣總是來自於解決實際（而不是數學家自己發明）的問題。

那麼，就「除以3 的餘數」而言，有什麼實際的問題，是適合我們的小孩來探索的呢？我們挖空心思，終於想到一個遊戲（其它更實際的問題，要等到更高年級的時候）。這有一點像是某個在沙坑裡玩的勾當：在沙上插一根小樹枝，每個人每次都要挖掉一點沙，直到最後一個人挖過而樹枝倒下去的時候，那個人就輸了。但在我們的遊戲裡，樹枝被改成某個數量的任何小東西，而「挖掉一點沙」則改成「每個人每次一定要拿走1或2個」，當然，結局是一樣的，最後出手而致拿光的人為輸—這個遊戲有一個非常文雅的名字，叫做「拈」。

要點是，「拈」這個遊戲有一種「必勝的祕訣」，也就是，依照某種策略出手（在某種條件下），則可以得到必勝的結局。所以，它其實根本不是一個遊戲，只是一個設計好的騙局；只是和除以3 的餘數，有關係！

探索這個「必勝策略」，是有一定的難度的，與此同時，它當然也有一定的興味在內；我們的希望，不用說，當然是希望所有的想想小孩，都能透過這個挑戰，發展一種數學心智；這種心智的特色是，不願意碰運氣來定勝負，而總是想要以智慧來定輸贏。當然，就這個例子而言，所謂的智慧，就是要運用「被3 除的餘數」來做判斷。

為了幫助小孩進入狀況，我們先設計了「數枝」的情境；讓小孩先體會一下，「爬山、海邊、遊樂園、爬山、海邊、遊樂園…」這樣「數下去」（本冊第4 頁），總數是多少就會數到哪一項，其實是有規則的。不用說，那個規則仍然是「被3除的餘數」。

我們相信，經過提示「數枝」這個小孩一般很可能早就有過的經驗，再「圖示」背後所隱藏的餘數問題，再經過實際和別人「拈」幾次，再三番五次地「圖示」拈勝的道理，這樣一路走下來，前述的目標，應該並非不可企及！

我們願意以這樣精心設計的一課，以其難度和興味，來歡迎小孩即將面臨的四年級！