數學想想: 三年級 上 1-5 (附指引 5冊合售) | 誠品線上

數學想想: 三年級 上 1-5 (附指引 5冊合售)

內容簡介

內容簡介 規格：全套五冊，每冊各含彩繪讀本、親子互動指引■本書目錄第一冊直式減法角與腳平方數乘法表"

商品規格

試閱文字

內文 : 關於「三」，有很多說法：小心謹慎的，說要「三思而行」；道貌岸然的，說要「三省吾身」；勤奮好學的，說「三人行，必有我師焉」；但我以為，關於三的最厲害的說法只有三個字，就是，三年級！

為什麼呢？除了「比二年級老、又比四年級小」以外，最根本的，當然還是因為，我們的「想想小孩」恰好升上三年級；就是因為心裡一直惦著他，所以就覺得三年級是最了不起的了。

多麼神氣呀，我們已經三年級了耶！

有什麼好神氣的呢？首先，我們發現「角」和「腳」是不一樣的，但是，角又有腳（就是它的兩邊）；而更不可思議的是，角和角的差異，並不以其腳的長短為準：長腳的角可能反而比較小，短腳的角說不定反而比較大（見讀本第25頁的圖）。這實在是一件詭異的事，到底所謂的角，是指什麼而言的呢？

數學家要給角下一個定義，可是要費盡唇舌的（想要查一下歐基里德的幾何原本嗎？）；然而，三年級的我們，自有我們三年級的辦法：如果就先不管角的大小，或異同，只來看它有多尖；說到尖或不尖，連一年級都是一清二楚的：只要用指頭、或想像用指頭去摸一摸就知道了，而且，尖的角張口當然比較小。所以剩下來的問題，只是要約定，張口比較小的，就是比較小的角，這樣就完全不會被表面的圖象所迷惑了（第二課，「角與腳」）。

除了像「角」這種抽象的概念之外，我們還要把二年級時的九九乘法總結做成一個「表」。說到這個表，又可以讓我們神氣一下了：只是橫著看過來，直著看下去，在密密麻麻的數字之間按圖索驥，實在是讓人頭昏；所以我們站在高處看，把平面的表格做立體化的處理，之後，可以想像排在兩邊的紙牌分別向右和向前走過來，二者相遇的時候，就在地上變出相乘的火花（讀本第41頁）。這樣一來，就不只是建立了九九乘法表，同時，還為下一冊的立體圖形和透視概念做好了準備！

另外，還有直式減法（第一課），還有「小人國」補破洞的故事（第三課），如果願意仔細看一看的話，就會發現都比以前更多一層的「想想」了；至於為什麼更多了一層呢？理由無它，當然是因為，我們已經三年級了啊！

關於小孩學數學，有一個古老的問題：到底是要著重理解，還是只要會算就好？

大家會想，都已經明白地高舉了「想想」的旗幟，那還用說？一定取前者，而捨後者了；然而不然，如果我們認真的想一想，就會發現那個所謂的老問題裡面，其實暗藏著陷阱：好像我們非得從二者擇一不可，為什麼我們的想想小孩，就不能二者兼顧呢？

能或不能，關鍵其實是在陪他的大人；如果老師或爸媽眼光看得遠一點，心裡的盤算深一點，而不要那麼急，不要一直想著快快把他「打發」了，那麼，也許我們就可以培養一個又會想，又會算的小孩。

何以見得呢？就拿兩位數相加來說，之前我們教給他的方法，是先加十位數，再加個位數；這個設計，當然是建立在算零錢的經驗上的：三十四元是一把銅板，二十八元也是一把銅板，合在一起的時候，哪個人不是先把那三個和二個十元的銅板收起來，再算剩下的四元和八元呢？用式子來寫，就是「34 + 28=？；先算30+20=50，再算4+8=12，最後把兩個答案合起來 50 +12=62」；寫成直式，就自然是「兩層」的直式。

有些人會以為這個算法太麻煩，手續太繁瑣，格式太複雜，不如傳統的「進位時記個1」來得簡單明瞭，又拖慢了計算的速度，而且，也不見得能增進小孩的理解。然而， 就理解的層面而言，以上的方法確實可以讓小孩比較「進入情況」，因為每做一題，他都有實際的情境可以思索，而不致於算了半天卻不明白為什麼那麼算，或在算什麼；只不過要達到這一境界，也不是一蹴可幾，而是需要相當的時間，多次的回顧。

這之所以在一、二年級這個階段，我們設計了好多課﹝二上第 2冊和第3冊「直式加法」，二下第2冊「超過100囉！」，第5冊「想想相簿─加法、進位、百位數」) 讓小孩來熟悉這個題材，這與一般「教科書」只教一次不同，而且，每次呈現都是一個新的角度，以免小孩覺得厭煩，同時增進他的視野。

就某種角度來說，這是一個漫長的等待，想要一次把「兩位加法」教完了事的大人恐怕已經有點受不了了。其實，小孩長得很快，一轉眼，他就已經三年級；對於三年級的他而言，既然已經對於「兩層」直式加法有了許多練習和經驗，又在心智上更成熟了一些， 而且即將進入三位數的加法， 所以，很自然地， 他可以算得快一點，把各個步驟精簡一點，於是，在這一冊裡，我們就來讓他更上層樓!﹝第二課「怎麼加比較快？」﹞

所謂更上層樓，其實也是有步驟的，而不是一次教他「進位時記個1」—— 這樣就變成「又來一個新方法」，會讓小孩覺得「我早就會算了，何必多此一舉？」；所以，在再次複習了舊方法之後， 提出「算得快」的目標，再因應這個目標，提出「在心中估算， 一次得出答案」的新方法。這個新方法不但取消了「兩層」的格式，其實是連「記1進位」的手續也跨越了，所以需要高度的「專注」﹝所有心算都是如此﹞，小孩因而會覺得吃力。

這個時候，我們才認為是水到渠成，可以教他「進位記1」的傳統直式算法了。其實傳統算法的優點就在：不必分成幾個步驟，而又不必調動全副精神在心裡算；它是介在兩個之間的一個中庸模式！這樣一來，我們的想想小孩，就可以在兩位加法這個計算上，追求既能理解，又能算得快的目標了。

談過了這個例子，親愛的爸媽或老師，您應該可以發見，「數學想想」並不反對傳統算法，也不反對流行的心算，既不反對簡化格式，也不反對要算得快；唯一不同的是，我們認為教小孩的時候應該「溫柔」， 而不可以粗暴，所以過程要拉長，手法要細膩，正是在這一點上，「數學想想」既不傳統，也不順應流行！

這一冊裡還有一課「蛀蟲吃掉了什麼數」，是教如何找出例如「5__ - 38 =__8」中__裡的數。其實這是很難的題目，解出的關鍵，是在對於直式減法的理解；我們做這樣的設計，目的當然也正是在此﹝見第四課﹞。到目前為止的直式減法，還是「兩層」的格式；您可以預料，到了適當的時機，減法一定會進階到「一層」的格式。同時您也可以發現，「數學想想」不反對給小孩出難題；唯一不同的是，我們認為不應該「為了難題而難題」，所有的難題都應該有一種教學上的目的﹝例如理解某個道理﹞。

另外，這一冊的第一課是乘法的應用問題，第三課講垂直的概念，是為下一冊「立體透視圖」做預備，我們就不再贅述了。

不知道您們有沒有注意到，每一冊的「想想」裡，基本上都有兩種題材：一是計算的，就目前的進度而言，無非就是加、減和乘法，以及相關的進位問題等等；另一種，多數是和圖形有關，但也並不盡然（例如時鐘和時間），無以名之，就稱為「非計算的」。

這一次的「非計算的」，雖然也和圖形有關（「三、看起來的樣子p.28)，但這樣的內容在目前通用的教科書中絕找不到；這是不是意味著我們的這一課是多餘的呢？或者，我們為什麼要標新立異、故意「開」一個別人沒有的題材呢？

說起這些問題，讓人不得不想起十年前的事情；那個時候，我們正和「牛頓」合作出版小學教科書。送審的時候（好佳在，現在「想想」不用送審，它不是教科書！)，教科書的評審們對於其中「左右概念」的內容頗有一些小小的微詞； 因為當時的依據是教育部82年頒佈的課程標準，而在（包括之前的）課程標準裡，都沒有提到可以教這個題材。

然而，我們的書還是出版了；可惜過了不久，又因為種種原因絕版。五年之後，教育部頒佈87年的課程綱要，翻開一看，在「S-S-1-6」項下，赫然是「能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置」，我們之所獨創，竟然變成了所有教科書必須一體遵行的標準內容！

一直到今年（民92）剛剛出爐的最新課程綱要中，這一條還是原封不動；這當然是好事：創新的目的之一，就是希望鼓動時事、引領風潮！

現在回來說「看見的樣子」這一課。到底為什麼要有這一課呢？顧名思義，就是因為小孩或者並不明白「他所看到的」樣子。然而，這是什麼意思呢？我們都知道，一個正圓，如果從側面看過去，呈現出來的圖像（例如在照片中）應該是一個扁扁的橢圓；但只要用心看過小孩的圖畫，往往可以看到他仍然把它畫成正圓（例如當畫面上的蠟燭是直立的時候，蠟燭下面的蛋糕仍被畫成正圓形）。用術語說，就是他的畫沒有透視感；用白話說，就是他畫的並不是他看到的，而是他心中「認定」的樣子（例如認定蛋糕是圓形的）。

立體派畫家如畢卡索等人，曾故意用類似的手法，把眼睛不可能看到、但確是心中所想的畫面呈現在紙上：畫家遠比數學家更有童心，他們知道小孩不是「畫錯了」，而只是不肯「屈服」於看見的真象。俗語說眼見是實，其實完全不是那麼回事；映在視網膜上的形狀，都要經過大腦的詮釋才能進入心中，因而，我們所看到的，往往只是我們自以為看到的東西。

因此，如果有一個機會讓我們發現，我們所以為的（例如正圓形)，並不是我們所看到的（其實是橢圓，因為是從側面看），那就是在認知發展的過程裡的重大事件，代表著心智能力的巨大躍升，象徵著人格成熟度的明顯進階。為什麼和「人格」有關呢？因為，人格成熟的一個指標就是，能定下心來好好省視自己「看到的」、和「自以為」的樣子有什麼差別—在真實的世界裡，這種差別總是有的，從身處的客觀環境，到複雜的人際關係，都不例外！

所以，幾何學有一個重要的任務，就是透過研究立體事物的平面圖形（或曰投影），協助小孩在心智上完成這個突破；可惜的是，數學家並沒有認真思考過小孩的困境，也不曾用心體會過藝術家的童心所代表的認知心理學的重大意義，這之所以自今為止的教科書，或課程綱要，都從不在這一方面著力。

或者也可以這樣說，他們之所以還沒有想到這一方面的題材，是因為還沒有看到我們這一課（以及爾後許多相關的課）的原故；希望我們這次的創新，能像上次一樣，再次帶動整個國家數學教育的進步。

至於這一課的實際內容是什麼呢？當然就要請你親自去看看這一課了；至於學會這一課又有什麼實際的好處呢？那也要請您等待後續的發展—畢竟，小孩不是在一天之內長大，而我們為他準備的心智糧食，也絕不會在一天之內上桌！

關於「數學不止是數字的計算」，其實，大家是願意承認的；然而，數學又能是其它的什麼呢？這就不是可以隨便拿去問人的了。

不去問人，可以問自己。不要貪心地大哉問「數學是什麼」、只隨意地問一下「小孩的數學」，我們就可以發現，小孩的數學不過是一種語言罷了。小孩從小學說話，要把他的意思表達出來，也要聽懂別人的意思，但無論自己或別人的那個「意思」，卻是本來就在心裡的；所要學的，不過是各種巧妙的表達的方式。

「小明給小強3元」，「小強手上的錢就變成5元」，這兩句話都是從小學過的語言；前者指出小明那方的動作，後者描述小強這邊的變化，二者都是明明白白的。但是，把這兩句放在一起，讓前者成為後者的原因，將變化歸為動作的結果，對小孩來說，就不是生活上常見的語法，所以需要特別學習。

學習的方法，也和牙牙學語的時候相彷彿，就是要在心裡構築鮮明而具體的情境；但因為重點是因果關係，所以是要在腦海裡有連續的圖畫，先看見給3元，再看見變成5元。這時候，就發生了最重要的事情：所謂「變成5元」到底要怎麼看到？如果看到5元，那就是已經「變過」了；如果正在「變成」，又不知道該看見幾元？正是在這兒，「連續的圖畫」很難演得出來。

如果一個小孩試著「構築情境」，他就會驚覺到，「變成5元」這件事情隱藏著一個「從幾元變過來」的問題，也就是「小強手上原來有幾元？」，通常這也就是接著「小明給小強3元，小強手上就變成5元」這個條件而來的問句，所以他很自然地就會把「給了3元」這個因素除去，得到「原有2元」的結論，而解決了這樣一個「文字題」（或曰應用問題）。

以上的過程，是非常細膩而幽微的心智活動，幾乎是「不可教」的，也就是俗語所說「你可以把馬拉到河邊，卻不能教牠喝水」的「不能」的那一部分；所以一般的教學（包括國內制式的教材，或國外先進的研發）對此都是不置一詞，結果就是，一群不會做這一題的小孩，處身在幾個會做的小孩之旁，就都變成資劣，因為資優的封號已經被那少數幾個奪去了。

那麼，我們怎麼辦呢？除了儘可能圖示應有的具體情境之外，我們也不敢說能教給小孩什麼，畢竟這是「如人飲水」的事情；但是，想方設法把他「拉到河邊」，卻是我們的「能事」：先是把「小明給了3元，小強變成5元」之後的問句改為「小明原先有幾元？」（這樣會沒有答案）；接著再讓小孩自訂後面的問句，也就是提出「從已知的條件，可以得出什麼結論？」這樣的開放問題（這會引到「小明原有的錢比小強多」這種深刻的結論）；最後再引導小孩自己出類似的題目（當然也可以是算不出答案的），以促使小孩進入情境，並確定他能掌握這種語法。（見「四、減法問題」，第48–51頁）

這也就是「數學想想」最基本的精神：要學一種語言，先要有必須使用那種語言去思考的問題；正如蘇格拉底所強調的，只要問對問題，學生就能自己學會 [註]；換言之，就是要針對所要教的題材，不斷提供合適小孩「想想」的機會。

說到這兒，就有人還是要問：如果他不是那麼願意「想想」呢？正確答案只有「等待」二字，這是被「馬在河邊」這個條件限死了的。不過，在等待的當兒，也不是沒有別的事情可做；比如說，唱一首馬覺得悅耳的歌？（如果有這種歌的話）；或者，朗誦一段讓小孩覺得不同凡響的文詞（畢竟他要學的是語言啊）：

「失憶」鳥啊，失憶鳥，請你可千萬別「失意」； 忘了有什麼關係，總不好失了生活的意趣！（「憶」和「意」有什麼不同？「失憶」和「失意」有什麼差異？）

何況，做為鳥，又何必在意幾乘幾？
　　　　　　　　　　　　　　
如果一定要知道，還可以看看人們留在地上的痕跡！

所以，先別管什麼記不記得，且看那枯樹孤立，夕陽向西，所有這一切，豈不是充滿「詩意」？（失憶、失意、詩意，聽起來竟然一樣，莫非是一種文字遊戲！）

不過，我們也難免懷疑，一直背那些乘法，到底有什麼目的？

到底有什麼目的，我們也想知道吧？那就請您翻到第14頁，還有下一頁…

每個人都各有各的小時候，是別人所無法取代的；每個人小時候所想的事情也都千奇百怪，是成人之後所無法想像的。

我小時候常常懷疑的一件事是，鐘面上的時針和分針，到底有沒有走動？時針還好，它總是不動；在我當時所能忍受的時間長度之下，我從沒有發現它動過。分針就討厭了，稍稍轉過身去玩點別的，它居然就走了一大截！

但我們之中的另一人有所不同，她小時候的疑問是，大鐘和小鐘，怎麼能走得一樣快？初聽之下，成人甚至不能理解這個問題；但實際設想針尖所走過的距離，我們不難明白，在大鐘上，五小格或一大格的距離，顯然是比較不容易走完的。

和她的小時候比起來，我的小時候簡直「沒有程度」極了：人家已經在運動方式之間做出了比較，我還在動靜之間做內心的掙扎。有道是「人比人，氣死人」，這「小時候比小時候」，也是足夠讓人氣餒的了。不過話也可以說回來，有道是小時了了—好漢固然不必老提當年之勇，但也不必為當年的憨懣而遺憾不止啊！

無論如何，當我們大家一再低徊於彼此的當年，要提供給想想小孩的素材也就慢慢成形了。很多人問說：你們那些「層出不窮的花樣」，都是怎麼想出來的啊？其實很簡單，我們只是一再和小孩在一起，包括和自己的小時候的幾度重逢在內。這一次，我們就設計了這樣一種情境：教室裡，老師規定必須午睡半小時；學生趴在桌上想，如果換成比較小的鐘，或者就不必睡那麼久了？

這是非常好的切入點，如果要教時鐘的話：它點出了時間超然存在於時鐘之外這個抽象的事實，而且不用言語直接明說，這是第一點；其次，它以直觀的方式提出了運動快慢和距離遠近的關係，可以做為爾後進行這一題材的預備；第三，它隱約地複習了角度和其邊長沒有關係這一概念（曾在三上第一冊出現）；第四，也是最重要的，它為認識時鐘，包括分針和時針的相對運動等等，提供了有利的好奇心！

這一切都很好，問題只在，提出了這個詭異的問題（大小鐘為什麼走得一樣快）之後，我們到底要怎麼和小孩解釋這個疑惑呢？如果首先他已經被引發了這個疑惑的話。其實，這才是真正的難題，除了直觀感受外，不能真正用到速度、距離的公式，更不用說角速度和速度的關係了；這就好像必須上戰場，但所有有效的武器都不准使用！

正是在這一點上，突顯了數學想想的真正價值：我們要讓小孩打從心底明白一件事情，但要跨越制式教育中以「邏輯推理」和「套用公式」所設下的心智鴻溝；換言之，我們的小孩要學到最寶貴的一件事情，就是，他可以充分地運用想像力，從自己對於真實情境的各種設想之中，而不是透過別人設計好的思路，掌握一個問題的要素！

以上這一段話是什麼意思呢？語言有時而窮，所以請看第30、31頁的圖，並且仔細玩味這些文字： 哇，好大的一個鐘！坐在分針上，通過高架橋的上空！

好大的風！

同樣的一根分針，

坐得近些，幾乎感覺不到它在移動。

分針走一格，就是一分鐘；

大鐘小鐘，並無不同！

　　
當然，這些都是為了要營造一個情境，目的就是讓小孩可以感受到最重要的那句話「如果兩個鐘都很準，兩根分針就會疊在一起（當兩個鐘相疊時）；雖然一個長，一個短，卻會一起行動」。

說到這裡，我不能不想起一位國中老師解釋「為什麼學生負擔很重」時所說的話：

　　

我們國一課本上有一課是「生活中的數字」，其中有一題是「街道上第一家是1號，第二家是3號，第三家是5號，問19號是第幾家？」；結果很多數學老師都趁機教起等差數列的公式，而沒有想到小孩可以想像自己站在街上，一家一家地數過去。

顯然地，許多數學老師是套公式長大的，而且正在強迫下一代這麼做；所以，數學想想的目的，就是要砍斷這個惡性循環，從我們的想想小孩開始，讓人的心智真正獲得解放！

活動

• 4/26前 全站滿$1,688折$150
• 4/26前 全站滿$2,688折$260
• 4/26前 全站滿$5,888折$600