數學想想: 二年級 上 1-5 (附指引 5冊合售) | 誠品線上

數學想想: 二年級 上 1-5 (附指引 5冊合售)

內容簡介

內容簡介 規格：全套五冊，每冊各含彩繪讀本、親子互動指引■本書目錄第一冊算式的意思古埃及的數字用手指做算數圓不圓？來做加法表"

商品規格

試閱文字

內文 : 人們喜歡慶祝什麼十週年、幾十週年的，也有什麼千禧年的說法。還記得經過西元兩千年的時候，無形的壓力很大, 好像世界末日真的就要來了。然而，很少人知道，所有這一切，都是因為我們長了十根指頭：如果不是採取了「十進位制」，幾十、幾百、幾千這種數，又有什麼特別呢？任何一年，和另外一年又有什麼差別呢？

所有的數，都不該只因為人為的記錄方法，就有不同的意義；那麼，所有的成長的日子，也不該因為人為的階段劃分，而有不同的待遇。

所以，升上小二的小孩，也不會僅僅是因為過了一個暑假，就突然長大了。

所以小二的「數學」，並不會比小一更難「想想」；相反的，為了怕小孩把學過的東西忘了，我們還特別安排了許多複習，尤其是在這剛開學的第一冊。據說，好的開始是成功的一半；但所有的開始，都是建立在之前的結束之上的。

所以，我們特別安排了「數手指」的算法(第三課)；包括可能犯的錯誤，其中的限制，以及這個方法的「盲點」(就是： 看不到數量，不容易建立數量感) 。不用說，這是要特別照顧從這一冊才學「數學想想」的小孩；但對於從一年級學過來的「老讀者」，這個題材還是重要的：有道是「沒看過什麼，也看過什麼」，我們的「舊生」對於數手指絕不會陌生，甚至雖然經過長久的「視覺的數」的訓練，舊的習慣還在。

其實，我們所關切的，並不僅僅是「哪種方法好算」，而是，何者更有助於「想想」，包括持續不斷地想著「十進位記數法」所代表的「十個一數」的「數量概念」，以及「加法運算」在「實際情境」中的意義，等等。小孩不應該因為只學了某種固定的計算法，就陷入數數、計算的泥沼之中，而忘了他到底是在做什麼；當然，這並不表示我們絕對排斥「手指法」，只是各種方法之間的比較，是絕不可少的。

另外一個應該複習的重要概念，是關於「算式」：所以「巫婆」不但要學「掃把想想」，還要給人舀「人本巫婆湯」(第一課)：前者提示「如何列算式」，後者強調「不能被題目裡的數字牽著走」，而要重視「心中到底關心什麼問題」。

還有個位數的加法，是所有計算的基礎；之前的十冊裡已經有過許多練習，這次再做一個總結 (第五課 )，希望透過這種「思考與計算並重」的精心設計，小孩能更熟練這個基本技能，以便順利地進行兩位數的直式加法 (下一冊)。而圓的題材 (第四課)，是一上第四冊第五課「應該量哪裡」的延伸；埃及數字的題材 (第二課 )，則是從數學史的觀點，再一次介紹「視覺的數」，以便「新生」可以接得上來。

總之，成長的日子，是無始無終的；這一點，對於我們大人也並不例外。當小孩升上二年級的時候，我們的教育方法，教育哲學，教育觀念，也跟著成長了嗎？我一直認為，陪小孩學數學想想，是想想這些問題的最好的門徑；因為，一無現實的顧慮，二無分數的壓力，我們和小孩，可以在「純粹思想」的領域裡，共同追求世間的真理 (就是指數學的各種道理啦) ，世上還有比這更好的事情嗎？

讓我們共同期待，二年級的這十冊書，可以與您和您的小孩，共渡美麗的歲月!

上一次我們說過，什麼千禧年啦，百年慶啦等等，都是因為我們恰有十根指頭，以致於凡是跟十有關的，都變得特殊了。那麼，百和千，到底是怎樣和十發生關係的呢？

這種問題，一般人是不在乎的，反正九十九再過去，就是一百，大家都是這麼數的，但「喜歡思考」的人則不然；一位「想想小孩」提出石破驚天的問題：為什麼要數那麼久才能數到一百？

這種問題一般人是聽不懂的，也許要反問他：你以為一百分是那麼好拿的嗎？（或一百元那麼好賺嗎？）；但「數學想想」永遠是和小孩一國的，所以，這一次我們請出一位只有三根指頭的外星人。

外星人和地球人言語不通，但數人頭的時候，卻很能理解阿拉伯人的方法：數到三的時候，指頭就用完了，所以，必須寫下「10」，以免忘了已經數滿「 1」次「所有的指頭」；再往下數，很快的就到了九，這時候，「所有的指頭」已經數了三次，只好寫下「100 」。正如「10」是代表三；「100 」中的「10」代表的正是「三個三」。

這一連串思索的過程，是和十根指頭的地球人同步進行的；這樣，小孩就可以明白，十根指頭數滿十次的時候，也就需要一個新的名字來代表「十個十」，而且寫下來的時候，也自然必須是「100」了。

我們預料，看了「10和100 的意思」這一課，有的人會大吃一驚，說：什麼？你們怎麼可以給小二的孩子教「三進位記數法」呢？然而，全世界的大人，不都在教小孩十進位記數法嗎？不同的是，一般的教法，不教事情的原委，只教小孩聽我們頒布的規則；而所謂「三進位記數法」，又被所謂的數學家，弄得太有學問了，以致於大家認為那絕不是小孩可以理解的。

事實是，完全不必套上什麼「三進位記數法」這種大帽子，事情的道理是很單純的，如果讓一個三根指頭的外星人站在面前現身說法的話。又有人懷疑，為什麼不只用我們的十根指頭來現身說法就好了，何必弄出三根指頭來混淆小孩呢？

這就問到了事情的要點：所有的小孩，在好好理解之前，都已經被充分「叫」過了（所謂「叫」，就是不重視理解的教），以致於再怎麼用十根指頭說明，他既有的唱口訣式的數數的習慣，都一再地阻礙著對於原理的思考。

有趣的地方正在這兒，為了真正理解一件事情，往往不能太過「貼近」這件事情，而必須稍稍把距離拉開一點；三根指頭的設計，正是把小孩從十根指頭的根深蒂固的經驗中拉開的必要手段。

這有一點像是文學或美學的欣賞，詩學家曾提出「隔」這個概念：必須要有相當的「隔」，才能引發深層的美感經驗；而思考與理解的過程也是類似的，孟子曾說過：我不是特別愛好比喻，而是不用比喻就說不明白。

三根指頭，正是十根指頭的一種比喻；透過這個比喻，人就和他既定的經驗產生了一種「隔」。是這個「隔」著一層的比喻，讓小孩體會「百位數」真正的意義。

這一冊裡，當然還有其它重要的內容，例如重量的概念等等；但因為不像三根指頭那麼驚人，我們就留在分頁解說裡介紹，在此就不再贅述了。

記得多年以前，曾有人要採訪我對於黑澤明的「夢」的看法；我說沒看過，他就寄了影帶來。但我看了半天，實在是莫名其妙；就回他說，看不懂—採訪的事，當然也就免談了。

當時我心中暗想，大概所有的所謂藝術，無論是畫作或電影，都是屬於看不懂的；一旦看懂了，也就不能稱之為藝術。但後來聽森小的老師說，他們在學校也放「夢」給小孩看，而所有的小孩都看得非常入迷；我不得不大吃一驚，突然驚覺，我那故做犬儒的態度，一定是對自己某方面的缺陷的掩飾。

後來跟著人本及森小的同仁出國進修，在奧塞美術館看到梵谷那幅「教堂」的原作，一時之間，身心俱醉；那個感覺，真可以叫做恍如隔世：沉睡了大半輩子的本能，終於醒了過來。從此之後，再也不說「這個我也會畫」那種怪話了。

後來有機會再看黑澤明的「夢」，以及之前「看不懂」的所有的東西，才知曾經錯失了多少的幸福。難以想像的是，像我這種莽夫，現在竟也在研究室裡掛著莫內的仿作—原作當然是想都不敢想！

至於米羅，尤其是他的藍色系列，更是讓我神魂顛倒—不要問我顛倒些什麼，這不像數學，是不能說道理的；所以這一冊我們要教圖形的時候，我堅持，一定要讓《藍色二號》出場（見讀本第5頁）。大家都露出懷疑的眼光，說那些黑坨坨沒有哪兩個是全等或相似的；我說，那就讓它們半夜變形好了。

於是，「相似與全等」這一課，就從美術館開始；但經過夜半魅影之後，在清晨的美術館裡，《藍色三號》就赫然併列—至於《藍色一號》呢？就讓它在封底好了，總之，我就是要把握所有機會讓我們的小孩從小「開眼」，可不要像我一樣，做大半輩子的「盲人」！

當然，我們這樣竊用名畫，很有褻瀆大師的嫌疑，而這種複製品又有多少效果，也很難預料（我在「覺醒」之前，也不是沒看過圖片），何況我們的印刷也無法像畫冊那樣精緻；但我還是希望小孩對於所謂「圖形」的認識，不要局限在僵硬的長方形、三角形上，而能有更寬廣的想像，特別是全等和相似的概念，本來也絕不是只用在幾何圖形上。

更重要的是，雖然只是幾個簡單的形狀，大師的構圖仍然有它不可言喻的魅力，它所引發的美感經驗，是無論怎樣的思考，推理或「想想」都難以取代的；而思考、推理、或數學的能力，尤其不能和情意、想像、美學等等分離。所以，我要請求做為老師或父母的您，務必趁這個機會，讓小孩看看好一點的美術作品，包括複製得更好的各種名作（許多畫冊裡都有藍色系列），尤其是當小孩整天被那些從不講究美學的教科書淹沒的時候。

至於這一冊裡另外的特色，包括運用「長齒法」表現進位的概念（附有手工圖可以和小孩一起製作），直式加法（上冊的直式加法不涉及進位），以及蝸牛和小鳥同台演出的時針與分針，在分頁解說裡都有很詳細的說明，就請您和小孩慢慢品味了。

理解和熟練，是一個老話題；就數學而言，理解向來是對傳統填鴨式教育最有力的批判：不求甚解，難道是要訓練計算的機器？

最近以來，關於建構數學的爭議很熱鬧，我倒是有機會聽到另一方的意見，不是來自保守派，也不是護衛填鴨，而是出於一種「務實」的考慮；其所務的是這樣一個之實：小孩子年紀小，何必拿那些數理邏輯去為難他？他搞不懂那些推理的過程，有什麼關係？先學會基本的計算，以後長大再說嘛！

聽起來很有道理，推理確實比計算要難，而孩子的年紀確實還小，也真的不宜讓他為難；尤其是某些所謂「建構」的教法，把推理的思考性取消，又拆解成一步步繁瑣的算式，名為推理，實為另一種機械的演算，只是書寫的條目更多，遺漏而被打叉的機會更高，實在讓人很難不想回到務實的基本面。

這麼一來，我們費盡心血的「想想」，不就罪孽更為深重？因為，我們並不讓小孩做拆解過的逐條演算，而是直指思考與推理的核心，所以小孩連依樣葫蘆、機械操演的機會都沒有！這不是更難，更讓小孩為難嗎？

仔細思考這種務實的觀點，再一次地，我們發現那個最為關鍵的問題：由於教法不良，效果不彰，教學者就想要退讓；從教育的理想上退讓下來，只留下膚淺、無聊、毫無深度的表面功夫，以換取較高的成績，然後美其名曰「減輕學生負擔」！

這些年來，以「減輕學生負擔」為名的動作，已經把各科的教材刪減到沒有內容的程度！結果是，學生並沒有學得更高興，反而更缺乏學習的動機，因為，誰願意把心力投注在那麼無趣的題材上？

務實者的說法是，學生反正沒有什麼學習動機，讓他們隨便輕鬆地學一點，總比愁眉苦臉一直學不會來的好，何況，想要學的更深的話，還有將來！

正是在這一點上，反應了教者的怠惰！如果更用心思，教得更好，引導得更細緻，呈現得更有吸引力，誰說小孩就一定學不會，一定不想學？就拿這一冊裡的「奇數和偶數」來說，教者首先要想的是，談論奇數與偶數，除了它是教數學的「應有之義」以外，到底是為了什麼？

所以，我們設計了「一次走一格，11步可以走到城堡嗎？」的棋局，讓小孩發現，奇偶的分類法，可以讓我們不必一步步嚐試所有的走法，就發現「可能走到哪裡」；再設計「黑白格子一樣多嗎　？」的棋盤，讓小孩發現所謂偶數，就是可以平分的數，這是與「奇偶輪流出現」對立的另外一個觀點！

這些問題，都比一般課本的材料更難；然而，這是為難小孩嗎？實際的試教證明，小孩天生的好奇心，可以幫他克服思想上的怠惰；他被這些問題吸引，並不是由於奮發向上，或想要出人頭地，或升學可以得勝，或將來可以當學者，而僅僅是因為，他是人，不是動物，他能感覺到，這些問題值得思考！而美術的搭配，畫面的設計，情境的安排，是使他進入這一思考不可或缺的要素！

當奇偶數這個觀念，在現實上取得意義與價值，小孩就把這些概念深化到他的認知結構裡去了；這才是真正的、由皮亞傑所建構的「建構主義」。但要做到這一點，依照教科書那種粗俗的、淺薄的、表面上活潑但骨子裡仍然充滿教條的內容，恐怕是需要奇蹟！ （但這個奇蹟是可能發生的，如果有一位神奇的老師的話。）

在這一課的最後，我們再次引入「外星人的三進位數」做為對比，讓小孩發現，「個位數是偶數，這個數就是偶數」，並不是一成不變的教條；在這規則的背後，其實隱藏著「10是一個偶數」這一基本要件，並把這一點留到下一冊做更深入的探討。這樣，我們以為，才算是最起碼地盡了奇偶數教學的能事！

其實，對於「還有將來」的說法，我們是非常同意的；但「有將來」，並不意謂著不要現在。在這裡，存在著最根本的問題，教育到底是要培養誰？把誰培養成誰？我們所希望的，是培養普遍的下一代，不管他將來要做什麼，都能從小體會思辯的樂趣，而不是等他們長大了，再看誰適合做一個有頭腦的人！

這是二上第五冊了，也就是總複習的時候，所以有一些材料是前幾冊的重複，不過採取了另外的呈現方式，安排了不同的練習；但也有一點新的內容，是為下學期做準備的，例如「加到一百」，之前就不曾出現過。

現在也許是一個好的時機，可以對「三進位」的事情再做一些說明，雖然之前也在不同的地方說過好幾次了。

直到現在，還有人在問：到底為什麼要弄這個「外星手」啊，好難噢；不瞞大家說，這外星手的事情，確實有一點難，特別是對於大人來說，因為對十進位的操作已經太過熟練了。我們太習慣於將「十個東西」想成「10」，以致於很難想像10也可以不是十。倒不是說「數滿一隻手就記個1，再補個0表示沒有剩餘」這個道理有多麼深奧，而是，「一旦那隻手只有三根指頭，10就代表了 3」這件事情，實在和常理太過違反！

問題就出在這「常理」兩個字上了，常理，常常並沒有什麼道理，而只是我們深陷其中的一種習慣；例如，照常理來說，東西都是要往地上掉的；古代的時候，如果對此提出懷疑，一定會得到這樣的回答：不往下掉，難道要往上飛？然而，什麼是上？什麼是下？一顆傻哩瓜嘰的石頭，怎麼會認得上下而知道要往下掉呢？那麼，一顆無知無識的小樹的根，怎麼不往上長？

就有那些不信邪的傢伙，名為科學家的，把盆裁安置在一個不停旋轉的輪子上；一兩個禮拜下來，就發現那泥土中的根，都往離心的方向長過去了：它還真的以為那邊就是「下」呢！（雖然那個離心的方向，隨著轉輪不停地變動著）

可見，所謂「下」，並不是常理所能理解的，而必須懂得重力的來由，並確定重力之所由來的方向；這樣看來，當年哥倫布向西班牙皇室申請探險經費時所時到的回應：你這樣一直航行「下」去，到時候掉「下」去了怎麼辦？（他們倒也知道地球是圓的！），也就不足為怪了。

所以，古話說「習慣之中人也深矣」，也就不是假話；問題是，我們的小孩要當「習慣的動物」，還是要成為「博學、審問、慎思、明辨…」的擁有批判思考能力的「人」？

不過，話又說回來了，要了解「一隻手一隻手（10個10個）地數，數滿一隻手那麼多的手 （10隻手）就要寫做100」，的確需要一定的心智成熟度，而二年級的小孩的確是不一定能明白的；所以，讓我們再說一次說過很多次的話：

唯有允許不懂，才能換來真正的懂！

據說，教育部有一種政策，說是數學課程的安排，要符合「百分之八十的學生能學會」的標準；雖然後來好像又把「能學會」改成「可以學」，但真正的問題是，這些訂定標準的專家們，對於是「在什麼時候之前」，卻一個字也沒說。我們當然可以理解，他們有著現實教育環境裡的不得不然的考量：學校裡都是定期評量，很少考慮學生個別的學習步調；然而，「數學想想」不正是為了打破這些框框與格格而存在的嗎？

所以，請做這樣的想像：我們的想想小孩，從現在開始似懂非懂地、有一點沒一點地、但能持續不斷地「想像」著進位的問題；但一轉眼就到了六年級，於是，他們所能理解的事情，就真的不是一般人所能理解的了。

總之一句話，請讓我們教真正有思想性的東西，為了小孩的將來；條件是，誰也不許強迫他必須學會，在學每一冊的現在！

總之一句話，請給小孩留下「難得糊塗」的空間；方法是，只要把「不懂沒關係，還有以後啊」常常掛在嘴邊！

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